1 I1 - SUUGAKU.JP

Z 3C
Z
3
B dx
とする．
0
0
x2 + 9
(1) 次の等式がすべての実数 x について成り立つように，定数 a; b の値を定めなさい．
1
I1 =
2
x + 9 dx; I2 =
C
2
b
B x
= a x2 + 9 + B
2
2
x +9
x +9
(2) I1 において部分積分することにより，I1 を I2 で表しなさい．
B
(3) log(x + x2 + 9) の導関数を利用して，I2 を求めなさい．
p
(4) 曲線 x2 ¡ y2 = ¡9 と直線 y = 3 2 で囲まれた部分の面積 S を求めなさい．
（大分大学 2012 ）
2
次の問いに答えなさい．
Z
(1) 不定積分
t2 et dt を求めなさい．
(2) x = 0 で定義された関数
F(x) = ¡x +
Z
x
0
(xt ¡ t2 )et dt
の最小値とそのときの x の値を求めなさい．
（大分大学 2011 ）
3
0 < k < 1 である定数 k について，
f(x) = cos x ¡ k
g(x) = sin x ¡ k tan x
とおく．
¼
で，方程式 f(x) = 0 は，ただ 1 つの実数解をもつことを示しなさい．
2
¼
(2) 0 < x <
で，方程式 g(x) = 0 は，ただ 1 つの実数解をもつことを示しなさい．
2
(3) (2) での実数解を ® とする．定積分
(1) 0 < x <
Z
®
0
g(x) dx
を k の式で表しなさい．
（大分大学 2010 ）
4
a は 0 でない定数とする．座標平面上の 3 点 A(a + 2; a + 1)，B(9; 0)，C(2; 1) について，線分 AB と
線分 AC が垂直のとき，以下の問いに答えよ．
(1) a の値を求めよ．
(2) 自然数 n について，線分 AB を n : n + 4 に内分する点を Pn ，線分 BC を 3 : n に内分する点を Qn ，線分
CA を n : 1 に内分する点を Rn とする．4Pn Qn Rn の面積を Sn とするとき，Sn を n を用いて表せ．
m S
P
n
とするとき， lim Tm を求めよ．
(3) Tm =
n
m!1
n=1
（群馬大学 2012 ）
5
1
1
x¡
上の点 P から曲線 y = x2 にひいた 2 接線の接点を Q，R とし，µ = ÎQPR とす
2
4
るとき，次の問いに答えよ．
直線 ` : y =
(1) P の x 座標を t とし P を ` 上動かす．t Ë 0 のとき，tan µ を t の関数として表せ．
(2) µ の最大値を求め，このときの点 P の座標を求めよ．
（群馬大学 2011 ）
6
すべての実数 x において，関数 f(x) は微分可能で，その導関数 f0 (x) は連続とする．f(x)，f0 (x) が
等式
Z
xD
0
2
1 + (f0 (t)) dt = ¡e¡x + f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1) f(x) を求めよ．
(2) 曲線 y = f(x) と直線 x = 1，および x 軸，y 軸で囲まれた部分を，y 軸の周りに 1 回転させてできる立
体の体積を求めよ．
（群馬大学 2015 ）
7
曲線 y = log x 上の点 P(1; 0) における接線と y 軸の交点を Q とする．Q を通り x 軸に平行な直線と曲
線 y = log x の交点を R とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点 R の座標を求めよ．
(2) 線分 PR と曲線 y = log x で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ．
（群馬大学 2014 ）
8
座標平面上の曲線 C は媒介変数 t (t = 0) を用いて x = t2 + 2t + log(t + 1)，y = t2 + 2t ¡ log(t + 1)
と表される．C 上の点 P(a; b) における C の接線の傾きが
2e ¡ 1
であるとする．ただし，e は自然対数
2e + 1
の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) a と b の値を求めよ．
(2) Q を座標 (b; a) の点とする．直線 PQ，直線 y = x と曲線 C で囲まれた図形を，直線 y = x の周りに 1
回転してできる立体の体積を求めよ．
（群馬大学 2014 ）
9
p
1
曲線 C : y = x ¡ 1 + 2 x ¡ 1 に点 P # ; 0; から接線 ` を引く．
2
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 曲線 C と接線 ` および x 軸で囲まれた図形を，x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．
（群馬大学 2013 ）
10 原点 O を中心とする半径 2 の円を A とする．半径 1 の円（以下，
「動円」と呼ぶ）は，円 A に外接しながら，
すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円 A の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点 P の始めの
¼
位置を (2; 0) とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向となす角を µ として，µ を 0 5 µ 5
2
の範囲で動かしたときの P の軌跡を C とする．
(1) C を媒介変数 µ を用いて表せ．
1
のとき，P での C の接線の傾きを求めよ．
(2) P の y 座標が
2
(3) C の長さを求めよ．ただし，曲線 x = f(µ); y = g(µ) (® 5 µ 5 ¯) の長さは
H
Z¯
2
dy
dx 2
< dµ で与えられる．
#
; +$
dµ
dµ
®
（群馬大学 2013 ）

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