¼ 2 - SUUGAKU.JP

年番号
1
¼
¼
; のグラフを C1 ，y = b sin x #0 5 x 5
;
2
2
のグラフを C2 とし，C1 と C2 の交点を P とする．
a と b を正の実数とする．y = a cos x #0 5 x 5
(1) P の x 座標を t とする．このとき，sin t および cos t を a と b で表せ．
(2) C1 ; C2 と y 軸で囲まれた領域の面積 S を a と b で表せ．
¼
で囲まれた領域の面積を T とする．このとき，T = 2S となるための
(3) C1 ; C2 と直線 x =
2
条件を a と b で表せ．
4
f(x) =
氏名
6x2 + 4x + 1
とおく．以下の問いに答えよ．
(x + 1)(2x2 + 1)
(1) 等式 f(x) =
a
bx + c
が x についての恒等式となるように，定数 a; b; c の値を
+
x+1
2x2 + 1
求めよ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
0
（公立はこだて未来大学 2013 ）
（北海道大学 2013 ）
2
曲線 y = sin x 上の点 P(µ; sin µ) における曲線の接線 `1 と x 軸との交点を K とする．また，
点 P から x 軸へ下した垂線 `2 と x 軸との交点を H とする．このとき，次の問いに答えよ．た
¼
だし，0 < µ <
とする．
2
5
次の問に答えよ．
Z
(1) 不定積分
tet dt を求めよ．
(2) 0 5 a 5 1 を満たす定数 a について，定積分 S =
(1) 接線 `1 を y = Ax + B とおくとき，A と B を µ を用いて表せ．
Z
1
0
t ¡ a et dt を a を用いて表せ．
(3) a が 0 5 a 5 1 の範囲を動くとき，S を最小とするような a の値を求めよ．
(2) 4PKH の面積 S を cos µ を用いて表せ．
(3) S = 1 となる cos µ の値を求めよ．
（青山学院大学 2013 ）
(4) 座標平面の原点を O とする．また，曲線 y = sin x と二つの線分 OH，PH で囲まれた図形の
面積を T とする．S : T = 3 : 2 となる µ の値を求めよ．
（九州歯科大学 2013 ）
6
3
xy 平面において，曲線 y =
ex
と 3 直線 y = x + 1; x = 1; x = ¡1 で囲まれた部分を D と
する．ただし e は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．
I=
Z
0
¼
2
cos3 x
dx，J =
cos x + sin x
Z
0
¼
2
sin3 x
dx とする．このとき，次の問いに答
cos x + sin x
えよ．
¼
¡ t とおいて置換積分法を用いることで，I = J を示せ．
2
(2) I + J の値を求めよ．
(1) x =
(1) 関数 f(x) = ex ¡ (x + 1) の増減，極値，凹凸を ¡1 5 x 5 1 の範囲で調べ，増減表にまと
(3) I と J の値を求めよ．
めよ．
(2) D を図示せよ．
（静岡大学 2014 ）
(3) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めよ．
（鹿児島大学 2013 ）
7
¼
¼
; 上の点 (t; cos t) #0 < t <
; における曲線 C1 の接線
曲線 C1 : y = cos x #0 5 x 5
2
2
¼
を ` とする．また，2 直線 x = 0，x =
と接線 ` との交点をそれぞれ A，B とし，放物線
2
x2
C2 : y = ¡
+ ax + c が 2 点 A，B を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
2
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(3) (2) の S が最小となる t の値を求めよ．
（宮崎大学 2014 ）
整数 m; n は m = 1，n = 2 をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) x > 0 のとき，y = log x の第 1 次導関数 y0 と第 2 次導関数 y00 を求めよ．
(2) 座標平面上の 3 点 A(m; log m)，B(m + 1; log m)，C(m + 1; log(m + 1)) を頂点とする
三角形の面積を Sm とする．Sm を m を用いて表せ．
Z m+1
(3) f(m) = log m + Sm ¡
log x dx とおく．f(m) < 0 が成り立つことを，y = log x の
m
グラフを用いて説明せよ．
(4) f(1) + f(2) + Ý + f(n ¡ 1) < 0 であることを用いて，不等式
log 1 + log 2 + Ý + log(n ¡ 1) < n log n ¡ n + 1 ¡
1
log n
2
を証明せよ．
p
n n
(5) 不等式 n! < e n # ; を証明せよ．ただし，e は自然対数の底である．
e
（琉球大学 2014 ）
9
関数 f(x) = sin #
a
¡a
ex
dx とおく．
e2x + 3ex + 2
(1) f(a) を求めよ．
(2) 極限 lim f(a) を求めよ．
a!1
（学習院大学 2014 ）
¼
(2) 2 曲線 C1 ，C2 と 2 直線 x = 0，x =
で囲まれる部分の面積を S とする．S を，a と c を用
2
いて表せ．
8
10 正の実数 a に対して f(a) =
Z
3
3
3
x; +
x と g(x) =
x について，以下の問いに答えよ．ただし，
2
4
4
0 5 x 5 ¼ とする．
(1) y = f(x) の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2) y = f(x) と y = g(x) のグラフの共有点を求めよ．
(3) y = f(x) と y = g(x) のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．
（三重大学 2014 ）

Download Report