¼ 2 - SUUGAKU.JP

年番号
1
a と b を正の実数とする．y = a cos x #0 5 x 5
y = b sin x #0 5 x 5
する．
¼
; のグラフを C1 ，
2
3
¼
; のグラフを C2 とし，C1 と C2 の交点を P と
2
(1) P の x 座標を t とする．このとき，sin t および cos t を a と b で表せ．
(2) C1 ; C2 と y 軸で囲まれた領域の面積 S を a と b で表せ．
¼
(3) C1 ; C2 と直線 x =
で囲まれた領域の面積を T とする．このとき，
2
T = 2S となるための条件を a と b で表せ．
氏名
xy 平面において，曲線 y = ex と 3 直線 y = x + 1; x = 1; x = ¡1 で囲
まれた部分を D とする．ただし e は自然対数の底である．次の各問いに答
えよ．
(1) 関数 f(x) = ex ¡ (x + 1) の増減，極値，凹凸を ¡1 5 x 5 1 の範囲で調
べ，増減表にまとめよ．
(2) D を図示せよ．
(3) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めよ．
（鹿児島大学 2013 ）
（北海道大学 2013 ）
4
2
曲線 y = sin x 上の点 P(µ; sin µ) における曲線の接線 `1 と x 軸との交点
を K とする．また，点 P から x 軸へ下した垂線 `2 と x 軸との交点を H と
¼
する．このとき，次の問いに答えよ．ただし，0 < µ <
とする．
2
f(x) =
6x2 + 4x + 1
とおく．以下の問いに答えよ．
(x + 1)(2x2 + 1)
a
bx + c
+
が x についての恒等式となるように，定
x+1
2x2 + 1
数 a; b; c の値を求めよ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
(1) 等式 f(x) =
0
（公立はこだて未来大学 2013 ）
(1) 接線 `1 を y = Ax + B とおくとき，A と B を µ を用いて表せ．
(2) 4PKH の面積 S を cos µ を用いて表せ．
5
次の問に答えよ．
Z
(1) 不定積分
tet dt を求めよ．
(3) S = 1 となる cos µ の値を求めよ．
(4) 座標平面の原点を O とする．また，曲線 y = sin x と二つの線分 OH，PH
で囲まれた図形の面積を T とする．S : T = 3 : 2 となる µ の値を求めよ．
(2) 0 5 a 5 1 を満たす定数 a について，定積分 S =
Z
1
0
t ¡ a et dt を a を
用いて表せ．
（九州歯科大学 2013 ）
(3) a が 0 5 a 5 1 の範囲を動くとき，S を最小とするような a の値を求めよ．
（青山学院大学 2013 ）
6
Z
¼
2
cos3 x
I=
dx，J =
cos x + sin x
0
とき，次の問いに答えよ．
Z
¼
2
0
sin3 x
dx とする．この
cos x + sin x
8
整数 m; n は m = 1，n = 2 をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) x > 0 のとき，y = log x の第 1 次導関数 y0 と第 2 次導関数 y00 を求めよ．
¼
¡ t とおいて置換積分法を用いることで，I = J を示せ．
2
(2) I + J の値を求めよ．
(1) x =
(2) 座標平面上の 3 点 A(m; log m)，B(m + 1; log m)，C(m + 1; log(m +
(3) I と J の値を求めよ．
1)) を頂点とする三角形の面積を Sm とする．Sm を m を用いて表せ．
Z m+1
(3) f(m) = log m + Sm ¡
log x dx とおく．f(m) < 0 が成り立つこ
m
（静岡大学 2014 ）
とを，y = log x のグラフを用いて説明せよ．
(4) f(1) + f(2) + Ý + f(n ¡ 1) < 0 であることを用いて，不等式
log 1 + log 2 + Ý + log(n ¡ 1) < n log n ¡ n + 1 ¡
1
log n
2
を証明せよ．
7
¼
¼
; 上の点 (t; cos t) #0 < t <
; にお
曲線 C1 : y = cos x #0 5 x 5
2
2
¼
ける曲線 C1 の接線を ` とする．また，2 直線 x = 0，x =
と接線 ` と
2
x2
の交点をそれぞれ A，B とし，放物線 C2 : y = ¡
+ ax + c が 2 点 A，
2
B を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 と 2 直線 x = 0，x =
¼
で囲まれる部分の面積を S とす
2
る．S を，a と c を用いて表せ．
p
n n
(5) 不等式 n! < e n # ; を証明せよ．ただし，e は自然対数の底である．
e
（琉球大学 2014 ）
9
3
3
3
x; + x と g(x) =
x について，以下の問いに答
2
4
4
えよ．ただし，0 5 x 5 ¼ とする．
関数 f(x) = sin #
(1) y = f(x) の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(3) (2) の S が最小となる t の値を求めよ．
(2) y = f(x) と y = g(x) のグラフの共有点を求めよ．
（宮崎大学 2014 ）
(3) y = f(x) と y = g(x) のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．
（三重大学 2014 ）
10 正の実数 a に対して f(a) =
Z
a
¡a e2x
ex
dx とおく．
+ 3ex + 2
(1) f(a) を求めよ．
(2) 極限 lim f(a) を求めよ．
a!1
（学習院大学 2014 ）
¼
の範囲で 3 つの曲線
2
C1 : y = sin x，C2 : y = cos x，C3 : y = t cos x を考える．
11 t は 0 < t < 1 を満たす実数とし，0 5 x 5
(1) y 軸と C1 ，C3 で囲まれる部分の面積 S1 を t で表せ．
(2) C1 ，C2 ，C3 で囲まれる部分の面積を S2 とおく．S1 = S2 となる t とその
ときの S1 の値を求めよ．
（滋賀県立大学 2014 ）
12 e を自然対数の底とする．関数 y = xe2x のグラフを曲線 C とおき，点 (1; e2 )
における C の接線を ` とする．次の各問に答えよ．
(1) ` の方程式は y = e2 (
(2)
Z
1
0
2x
e
dx =
e2 ¡
ア
ウ
エ
x¡
イ
) である．
Z1
e2 +
である．また，
xe2x dx =
0
オ
カ
である．
(3) 曲線 C，接線 ` と y 軸とで囲まれた図形の面積は
キ
e2 + 1
ク
である．
（東洋大学 2014 ）

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