1 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC と，線分 BC を 1 : 2 に内分する点 D が与えられている．実数 4 x (0 5 x 5 1) に対し，線分 AB 上の点 P と線分 AC 上の点 Q を AP = CQ = x となるように定めるとき，次の問いに答えよ．関数 y = e¡x のグラフを C とする．C 上の点 P(t; e¡t ) における接線と x 軸との交点を Q(u; 0) とする．C 上の点 (u; e¡u ) を R とするとき，次の問いに答えよ． (1) u を t の式で表せ． (1) 線分 AD の長さを求めよ． (2) 線分 PQ，線分 QR と C で囲まれた部分を図形 A とする．図形 A を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を t の式で表せ． (2) 三角形 DPQ の面積 S を x の式で表せ． (3) (2) の S について，S の最大値と最小値を求めよ． p 3 となるとき，x の値を求めよ． (4) (2) の S の値が 8 (3) (1) の u を t の関数とみて u(t) と表す．数列 ftn g を t1 = 0; tn+1 = u(tn ) (n = 1; 2; Ý) と定義するとき，一般項 tn を求めよ． (4) (2) の V を t の関数とみて V(t) と表し，(3) の tn を用いて Vn = V(tn ) (n = 1; 2; Ý) とおく．数列 fVn g は等比数列であることを示し，無限等比級数 2 関数 f(x) = x3 ¡ 3x2 + 2 について，次の問いに答えよ． (1) y = f(x) の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ． a 5 x 5 a における f(x) の最大値 M を求めよ．ただし，a は定数で a > 0 とする． (2) ¡ 2 a (3) ¡ 5 x 5 a における f(x) の最小値 m を求めよ．ただし，a は定数で a > 0 とする． 2 V1 + V2 + Ý + Vn + Ý の収束，発散を調べ，収束する場合は，その和を求めよ． 5 座標平面の x 軸上を動く点 P と y 軸上を動く点 Q に対して次の操作を行う．「大小 2 つのさいころを同時に投げて， ² 点 P を大きいさいころの目が奇数ならば +1，偶数ならば +2 動かす 3 A2 = O を満たす行列 A = ' a b c d ² 点 Q を小さいさいころの目が奇数ならば +1，偶数ならば +2 動かす」 ? について，次の問いに答えよ．ただし，O は零行列で点 P と点 Q は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形 OPQ について，次の問いある．に答えよ． (1) c Ë 0 のとき，b を a と c を用いて表せ． (1) この操作を 2 回続けたとき，4OPQ が二等辺三角形となる確率を求めよ． (2) c = 0 のとき，a と d の値を求めよ． (3) c = 0 のとき，X1 = E; Xn+1 = AXn + B (n = 1; 2; Ý) と定める．n = 3 のとき X1 + X2 + Ý + Xn を求めよ．ただし，E = ' (2) この操作を 2 回続けたときの 4OPQ の面積の期待値を求めよ． (3) この操作を 3 回続けたとき，4OPQ の面積が整数になる確率を求めよ． 6 1 0 0 1 ?; B = ' 1 1 1 1 ? である．数列 fan g は a1 = 2; a2 = 2 をみたすとする．fan g の階差数列を fbn g とし，fbn g の階差数列を fcn g とする．数列 fcn g が c1 = 1 をみたす公差 3 の等差数列であるとき，次の問いに答えよ． (1) 数列 fcn g の一般項を求めよ． (2) 数列 fbn g の一般項を求めよ． (3) 数列 fan g の一般項を求めよ． 7 4OAB において，ÎAOB = 90± とする．辺 AB の中点を C，辺 OB の中点を D，OC と AD の ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! 交点を P，O から辺 AB に下ろした垂線の足を E とする． a = OA; b = OB とするとき，次 10 曲線 C1 は媒介変数 t を用いて x = t ¡ sin t; の問いに答えよ． ¡! ¡ ! ¡ ! (1) OP を a と b を用いて表せ． ¡! ¡ ! ¡ ! (2) OE を a と b を用いて表せ． y = 1 ¡ cos t (0 5 t 5 2¼) と表されるとする．また，曲線 C2 は ¡ ! (3) OA < OB かつ OC = 1 とする．s = j a j とするとき，4OPE の面積を s を用いて表せ． x = t ¡ sin t; y = 1 + cos t (0 5 t 5 2¼) と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ． (1) C1 と C2 は直線 y = 1 に関して対称であることを示せ． (2) C1 と C2 の交点の座標を求めよ． 8 関数 f(x) は f(0) = b をみたし，その導関数は (3) C1 と C2 で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ． f0 (x) = (x ¡ 1)(x ¡ a) であるとする．ただし，a と b は定数である．このとき，次の問いに答えよ． (1) 曲線 y = f(x) 上の点 (0; b) における接線の方程式を求めよ． (2) f(x) を x の整式で表せ． (3) f(x) の極大値が 40，極小値が 4 であるとき，定数 a と b の値を求めよ． 9 座標平面上の直線 y = mx (m > 0) を ` とする．点 (1; 0) を P1 とし，P1 から ` に下ろした垂線の足を Q1 ，Q1 から x 軸に下ろした垂線の足を P2 とする．以下同様に Pn (n = 1; 2; Ý) から ` に下ろした垂線の足を Qn ，Qn から x 軸に下ろした垂線の足を Pn+1 とする．このとき，次の問いに答えよ． (1) 4P1 Q1 P2 の面積 S1 を m を用いて表せ． (2) 4Pn Qn Pn+1 (n = 1; 2; Ý) の面積を Sn とするとき，級数 1 P n=1 Sn の和 S を m を用いて表せ． (3) (2) における S が最大になる m と，そのときの S の値を求めよ．