1 四面体 OABC において，AB の中点を P，PC の中点

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四面体 OABC において，AB の中点を P，PC の中点を Q，OQ を m : n に内分する点を R と
する．ただし，m > 0，n > 0 とする．さらに直線 AR が平面 OBC と交わる点を S とする．
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
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a = OA， b = OB， c = OC とおいて以下の問いに答えよ．
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a を正の定数とし，座標平面上において，
円 C1 : x2 + y2 = 1;
¡! ¡! ¡
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!
(1) OP，OQ を a ， b ， c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
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! ¡
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(2) OR，OS を a ， b ， c ，m，n を用いて表せ．
AR
を m; n を用いて表せ．
(3)
RS
を考える．C1 上の点 P $
放物線 C2 : y = ax2 + 1
p
次の問いに答えよ．
（岡山大学 2014 ）
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3
; ¡ < における C1 の接線 ` は点 Q(s; t) で C2 に接している．
2
2
(1) s; t および a を求めよ．
(2) C2 ; ` および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3) 円 C1 上の点が点 P から点 R(0; 1) まで反時計回りに動いてできる円弧を C3 とする．C2 ，` お
よび C3 で囲まれた部分の面積を求めよ．
（広島大学 2016 ）
3
a を正の定数とし，f(x) = x2 + 2ax + a とおく．以下の問に答えよ．
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(1) y = f(x) のグラフの概形をかけ．
袋の中に最初に赤玉 2 個と青玉 1 個が入っている．次の操作を考える．
（操作）袋から 1 個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉 1 個を袋に入れ，青玉な
(2) y = f(x) のグラフが点 (¡1; 2) を通るときの a の値を求めよ．また，そのときの y = f(x)
らば代わりに赤玉 1 個を袋に入れる．袋に入っている 3 個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を
1 枚もらう．
のグラフと x 軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3) a = 2 とする．すべての実数 x に対して f(x) = 2x + b が成り立つような実数 b の取りうる
値の範囲を求めよ．
この操作を 4 回繰り返す．もらう硬貨の総数が 1 枚である確率と，もらう硬貨の総数が 2 枚であ
る確率をそれぞれ求めよ．
（神戸大学 2016 ）
（九州大学 2015 ）
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座標空間内に 3 点 A(1; 0; 0)，B(0; 1; 0)，C(0; 0; 1) をとり，2 つのベクトル AP と BP+ CP
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の内積が 0 になるような点 P(x; y; z) の集合を S とする．3 点 A，B，C を通る平面を ® とす
(1) ab = cd + 25 となる確率を求めよ．
るとき，次の問いに答えよ．
(2) ab = cd となる確率を求めよ．
(1) 集合 S は球面であることを示し，その中心 Q の座標と半径 r の値を求めよ．
(2) 原点 O から最も遠い距離にある S 上の点の座標を求めよ．
(3) (1) で求めた点 Q は，平面 ® 上にあることを示せ．
(4) (1) で求めた点 Q を通って平面 ® に垂直な直線を ` とする．球面 S と直線 ` のすべての共有点
について，その座標を求めよ．
（岡山大学 2015 ）
さいころを 4 回振って出た目を順に a; b; c; d とする．以下の問に答えよ．
（神戸大学 2016 ）
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1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがある．その 4 枚のカードを横一列に並べ，
以下の操作を考える．
操作： 1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 個の球が入っている袋から同時に 2 個の球を
取り出す．球に書かれた数字が i と j ならば，i のカードと j のカードを入れかえる．その後，2
個の球は袋に戻す．
初めにカードを左から順に 1，2，3，4 と並べ，上の操作を 2 回繰り返した後のカードについて，
以下の問いに答えよ．
(1) カードが左から順に 1; 2; 3; 4 と並ぶ確率を求めよ．
(2) カードが左から順に 4; 3; 2; 1 と並ぶ確率を求めよ．
(3) 左端のカードの数字が 1 になる確率を求めよ．
(4) 左端のカードの数字の期待値を求めよ．
（九州大学 2011 ）

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