(2) x = ba - 1

1
正方形 ABCD を底面，点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球について考える．
ただし，正四角錐とは，頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐で
ある．線分 AB の中点を M とし，線分 AM および線分 PM の長さをそれぞれ a; b とす
る．次の問に答えよ．
(1) 内接する球の半径を a; b を用いて表せ．
内接する球の表面積
b
と定めるとき，
(2) x =
を x で表わし，その最大値を求
a
正四角錐 PABCD の表面積
めよ．
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を a を用いて表せ．
（早稲田大学 2016 ）
-1-
2
a を正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y = x log x と C2 : y = ax2 の両方に接する直線の
本数を求めよ．ただし， lim
x!1
(log x)2
= 0 は証明なしに用いてよい．
x
（横浜国立大学 2016 ）
-2-
3
a < 0，b を実数とする．楕円 C : x2 + 4y2 = 4 と直線 ` : y = ax + b が異なる 2 個の共
有点 P(x1 ; y1 )，Q(x2 ; y2 ) (x1 < x2 ) を持つとし，` に平行な直線 m が第 1 象限の点
A において C と接しているとする．次に答えよ．
(1) b の値の範囲を a を用いて表せ．
(2) 直線 m の方程式を a を用いて表せ．
(3) x2 ¡ x1 を a; b を用いて表せ．
(4) 三角形 APQ の面積 S を a; b を用いて表せ．
(5) b が (1) で求めた範囲を動くとき，(4) で求めた S の最大値を求めよ．
（九州工業大学 2016 ）
-3-
4
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
1 2
x +a
2e
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) における C1 の接線
が C2 に接するとする．
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の値を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
-4-
5
4ABC の 3 辺の長さを BC = a，AC = b，AB = c とし，条件
a + b + c = 1;
9ab = 1
が成り立つとする．以下の問いに答えよ．
(1) a の値の範囲を求めよ．
(2) µ = ÎC とするとき，cos µ の値の範囲を求めよ．
（熊本大学 2015 ）
-5-
6
関数 f(x) を
f(x) = e¡x x2 (x2 + ax + b)
で定める．ただし，a; b は実数，e は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1) f(x) の導関数を f0 (x) とする．f(¡1) = 10e，f0 (1) = 0 のとき，a; b の値を求めよ．
(2) a; b を (1) で求めた値とする．このとき x = 0 における f(x) の最大値，最小値を求め，
そのときの x の値を求めよ．ただし，2 < e < 3 であることを用いてよい．
（東京農工大学 2015 ）
-6-
7
a を実数とする．関数 f(x); g(x) を f(x) = x2 +ax+3，g(x) = f(x)f #
と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) x Ë 0 のとき，x +
1
; (x Ë 0)
x
1
のとりうる値の範囲を求めよ．
x
1
(x Ë 0) とするとき，g(x) を a; t を用いて表せ．
x
(3) g(x) (x Ë 0) の最小値が負となるような a の値の範囲を求めよ．
(2) t = x +
（富山大学 2015 ）
-7-
8
f(x) =
x
とする．以下の問に答えよ．
(2x ¡ 1)(x ¡ 2)
(1) g(x) = 2x3 ¡ 6x + 5 とする．このとき，¡3 < ® < ¡1 かつ g(®) = 0 をみたす ® が存
在することを示せ．さらに，x < ® では g(x) < 0 であり，x > ® では g(x) > 0 である
ことを示せ．
(2) (1) の ® を用いて，関数 y = f(x) の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概
形をかけ．
（宮城教育大学 2015 ）
-8-
9
次の条件 (¤) を満たすような実数 a で最大のものを求めよ．
(¤) ¡
¼
¼
5x5
の範囲のすべての x に対して cos x 5 1 ¡ ax2 が成り立つ．
2
2
（信州大学 2015 ）
-9-
10 a を実数とし，f(x) = xex ¡ x2 ¡ ax とする．曲線 y = f(x) 上の点 (0; f(0)) におけ
る接線の傾きを ¡1 とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1) a の値を求めよ．
(2) 関数 y = f(x) の極値を求めよ．
(3) b を実数とするとき，2 つの曲線 y = xex と y = x2 + ax + b の ¡1 5 x 5 1 の範囲で
の共有点の個数を調べよ．
（神戸大学 2014 ）
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