C1 : y = (x ¡ 1)

年番号
1
3
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
n を自然数とし，曲線 y = n sin
氏名
x
と円 x2 +y2 = 1 の第 1 象限における交点の座標を (pn ; qn )
n
とする．
1 2
x +a
2e
(1) x > 0 のとき，不等式 n sin
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) における C1 の接線が C2
に接するとする．
x
< x が成り立つことを示せ．
n
1
(2) 不等式 pn > p が成り立つことを示せ．
2
(3) 0 5 x 5 1 のとき，不等式
(1) a を t で表せ．
(¤)
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の値を求めよ．
#n sin
1
x
; x 5 n sin
n
n
が成り立つことを利用して，次の ‘，’ に答えよ．
（北海道大学 2015 ）
‘ 不等式 pn 5 E
1
が成り立つことを示せ．
1
n
x
’ x 軸，直線 x = pn ，および曲線 y = n sin
(0 5 x 5 pn ) で囲まれた領域の面積を Sn
n
とするとき，Sn を pn を用いて表せ．また， lim Sn を求めよ．
1 + n 2 sin2
n!1
(4) 0 5 x 5 1 のとき，(3) の不等式 (¤) が成り立つことを示せ．
2
（愛媛大学 2015 ）
a > 0，b > 0 とする．xy 平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線 y = ¡a と交わる
点を P とし，直線 x = b と交わる点を Q とする．P の x 座標を p とし，線分 PQ の長さを L と
おくとき，次の問いに答えよ．
4
(1) L2 を a; b; p を用いて表せ．
(2) a; b を定数とし，p を p < 0 の範囲で変化させるとき，L2 を最小にする p の値を求めよ．
2
2
関数 f(x) を
f(x) = e¡x x2 (x2 + ax + b)
2
(3) (2) で求めた p の値を p0 とする．また，c を a 3 + b 3 = c 3 を満たす正の実数とする．p = p0
で定める．ただし，a; b は実数，e は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
のときの L2 の値を c を用いて表せ．
（大阪市立大学 2015 ）
(1) f(x) の導関数を f0 (x) とする．f(¡1) = 10e，f0 (1) = 0 のとき，a; b の値を求めよ．
(2) a; b を (1) で求めた値とする．このとき x = 0 における f(x) の最大値，最小値を求め，その
ときの x の値を求めよ．ただし，2 < e < 3 であることを用いてよい．
（東京農工大学 2015 ）

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