¨Ubungsaufgaben zum Beifach Mathematik: Analysis III

Übungsaufgaben zum Beifach Mathematik: Analysis III
Serie 8: Lineare Randwertprobleme 2. Ordung
Abgabetermin: 19.1.
1. Aufgabe (20 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgenden linearen Randwertprobleme auf dem
Intervall [0, 1] eindeutig lösbar sind, und berechnen Sie jeweils die Lösung:
u′′ (x) − u(x) = 2ex , u′ (0) = 1, u(1) = 2
u′′ (x) + 2u′ (x) + 2u(x) = −2e−x , u(0) + u′ (0) = u(1) − u′ (1) = 0
u′′ (x) + u(x) = x, u(0) = u(1), u′ (0) = u′ (1)
u′′ (x) + 2cu′ (x) + c2 u(x) = 1, u(0) = u(1) = 0 (dabei ist c ∈ R beliebig)
2x ′
(e) u′′ (x) + 2
u (x) = x, u(0) = 0, u(1) = 1
x +1
(a)
(b)
(c)
(d)
* Aufgabe (10 Punkte) Es seien c0 , c1 : [a, b] → R stetige Funktionen, und es gelte
c0 (x) ≤ 0 für alle x ∈ [0, 1].
Zeigen Sie, dass dann u = 0 die einzige Lösung des homogenen Randwertproblems
u′′ (x) + c1 (x)u′ (x) + c0 (x)u(x) = 0, u(0) = u′ (1) = 0
ist.

Download Report