Blatt 8

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 8
Abgabe bis Fr, 10.6., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. (a) Seien X, Y, Z topologische Räume. Zeigen Sie, dass aus X ∼ Y und
Y ∼ Z folgt: X ∼ Z.
(b) Ein Raum X heißt zusammenziehbar, falls er homotop zu einem Ein-Punkt-Raum
ist. Zeigen Sie, dass jeder zusammenziehbare Raum wegzusammenhängend ist.
Aufgabe 2.
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
f : S 1 → S 1 , (x, y) 7→ (x, −y),
nicht homotop zur Identität ist. (Hinweis: Hält die Homotopie den Punkt (1, 0) ∈
S 1 fest, so hilt Satz 14.6. Ansonsten hilft Aufgabe 4(b) von Blatt 7 weiter.)
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildungen
g : S 1 → S 2 , (x, y) 7→ (x, y, 0)
und h : S 1 → S 2 , (x, y) 7→ (x, −y, 0)
homotop relativ zu (1, 0) ∈ S 1 sind.
Aufgabe 3. Sei G eine Gruppe mit einer Topologie, bezüglich derer die Abbildungen
(x, y) 7→ xy und x 7→ x−1 stetig sind. Bezeichne e ∈ G das neutrale Element und
Ω(G, e) alle Wege in G von e nach e. Zeigen Sie:
(a) Für alle v, w ∈ Ω(G, e) gilt v ∗ w ∼ w ∗ v. Insbesondere ist π1 (G, e) kommutativ.
(Hinweis: Betrachten Sie t 7→ v(t)w(t).)
(b) Für jeden Weg v ∈ Ω(G, e) gilt v ∼ v −1 , wobei v −1 den Weg t 7→ v(t)−1 bezeichne.
Aufgabe 4. (a) Seien f, g : X → Y stetige Abbildungen topologischer Räume, H
eine Homotopie von f nach g und x ∈ X sowie w = H(x, −). Zeigen Sie mit
Aufgabe 4(b) von Blatt 7, dass dann folgendes Diagramm kommutiert, wobei
c[w] ([v]) := [w] ∗ [v] ∗ [w]−1 :
f∗
π (Y, f (x))
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g∗
*
c[w]
π1 (X, x)
π1 (Y, g(x))
(b) Folgern Sie: Sind X und Y homotop und wegzusammenhängend, so gilt π1 (X, x) ∼
=
π1 (Y, y) für jedes x ∈ X und y ∈ Y .
Zusatzaufgabe 5. (Der Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe der Windungszahl)
Wir betrachten ein Polynom p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 mit komplexen
Koeffizienten a0 , . . . , an−1 ∈ C. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass |a0 |+· · ·+|an | <
1. Ferner nehmen wir an, dass p keine Nullstelle hat.
(a) Zeigen Sie, dass die Wege u : t 7→ p(e2πit ) und wn : t 7→ e2πint in R2 \ {0} frei
homotop sind. (Hinweis: Betrachten Sie Konvexkombinationen.)
(b) Zeigen Sie, dass u homotop zu einem konstanten Weg ist.
(c) Schließen Sie auf einen Widerspruch.
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