Blatt 10 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Höhere Mathematik II
Blatt 10
24.06.16
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 24.06.2016 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 46. (schriftlich)
(a) Sei f : R3 → R mit
f (x, y, z) = xy 2 z 3 .
und v = (−1, 0, 2)> . Bestimmen Sie die Richtungsableitung Dv f (1, 1, 1) und bestimmen Sie
eine Richtung w ∈ R, so dass Dw f (1, 1, 1) = 0.
(b) Gegeben seien v, w ∈ R2 mit v = (−2, 1)> , w = (1, 1)> . Weiter sei g : R2 → R differenzierbar in (2, 1) mit
Dv g(2, 1) = 3, Dw g(2, 1) = −1.
Bestimmen Sie ∇g(2, 1).
Aufgabe 47. Eine Hügellandschaft werde durch die Menge {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ R2 } beschrieben, wobei
4 sin(π(x2 + y 2 ))
.
f (x, y) =
1 + 2x2 + y 2
p
√
Eine Kugel werde nun auf den Punkt ( 1/2, 2, 1) gelegt. In welche Richtung rollt die Kugel
davon?
Aufgabe 48. Let u = (1, 1)> , v = (−2, 3)> and w = (1, −1)> . The function f : R2 → R
possesses the following directional derivatives in (x0 , y0 ):
Du f (x0 , y0 ) = −2,
Dv f (x0 , y0 ) = −1,
Dw f (x0 , y0 ) = 2.
Explain why f cannot be differentiable in (x0 , y0 ).
Aufgabe 49. Sei f : R2 → R mit
(
1, y = x2 , (x, y) 6= 0,
f (x, y) =
0, sonst.
Zeigen Sie, dass f in (0, 0) alle Richtungsableitungen besitzt, aber in (0, 0) nicht stetig ist.
Aufgabe 50. Gegeben sei das Ellipsoid
x21 x22 x23
Q = (x1 , x2 , x3 ) :
+
+
− 11 = 0 .
9
4
9
Bestimmen Sie die Hessesche Normalform derjenigen Ebene E , die Q im Punkt (3, 6, 3) berührt.
1

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