Analysis II: Übungsblatt DGL Systeme 1. Ordnung 1. Lösen Sie das Anfangswertproblem ẋ(t) = y(t) + z(t) ẏ(t) = x(t) + z(t) ż(t) = x(t) + y(t) x(0) = 2, y(0) = 1 und z(0) = 6 2. Berechnen Sie die allgemeine reelle Lösung des Systems −1 4 0 ~y = ~y . −2 3 3. Berechnen Sie die allgemeine reelle Lösung des Systems ˙~x = 5 0 ~x. 3 5 4. Lösen Sie das inhomogene System mittels Aufsuchen der partikulären Lösung: ẋ = −5x − 7y + et ẏ(t) = 2x + 4y + 1 5. Formen Sie folgende Differentialgleichungen in ein System 1. Ordnung um (Zustandsform) (a) ẍ + 5ẋ + x = sin(t) (b) y 0000 − y 00 + 3y = e−x (c) Punktpendel (nichtlinear) m · l2 · ϕ̈(t) = −m · g · l · sin (ϕ(t)) l : Länge des Fadens, m : Masse, ϕ(t): Winkel in Abhängigkeit der Zeit 1 Analysis II: LÖSUNGEN: Übungsblatt DGL Systeme 1. Ordnung 1. x(t) −1 −1 1 −1 1 ~u = y(t) = −2 1 · e−t + 3 0 · e−t + 3 1 · et = +1 −2 · e−t + 3 1 · et z(t) 0 1 1 3 1 2. Komplexes Fundamentalsystem: 1+j 1−j (1+2j)x (1−2j)x ·e , ·e 1 1 Allgemeine reelle Lösung: ~y = C1 sin(2x) − cos(2x) sin(2x) + cos(2x) x · ex · e + C2 sin(2x) cos(2x) 3. Eigenwerte: λ1,2 =5, 0 0 Eigenvektor: ~v = , Fundamentallösung: x~v = · e5t 1 1 1 1 1 0 5t 3 3 3 , Fundamentallösung: x~w = x+ ·e = · e5t Hauptvektor: w ~= 0 1 0 x 1 0 5t 3 Allgemeine Lösung: ~x = C1 · e + C2 · e5t 1 x 4. Eigenwerte: λ1 = 2, λ2 = −3 −7 −1 , v~2 = Eigenvektoren: v~1 = 2 1 Ansatz für inhomogenes System: xp = Aet + a0 yp = Bet + b0 oder vektoriell geschrieben: u~p = xp (t) A a = · et + 0 yp (t) B b0 Partikuläre Lösung: 3 t 7 e + 4 6 5 1 t = − e +− 2 6 xp = yp Allgemeine Lösung: 3 7 x(t) = −C1 e2t − 7C2 e−3t + et + 4 6 1 t 5 2t −3t y(t) = C1 e + 2C2 e +− e +− 2 6 5. Zustandsformen (a) ż1 = z2 ż2 = −z1 − 5z2 + sin(t) oder ~ż = 0 1 0 · ~z + −1 −5 sin(t) 2 (b) z10 = z2 z20 = z3 z30 = z4 z40 = −3z1 − z3 + e−x oder 0 0 ~z 0 = 0 −3 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 · ~z + 0 0 1 −x e 0 (c) ż1 = z2 g ż2 = − · sin (z1 (t)) l 3
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