Uebung 13

MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften HS2015
Dr. C. Luchsinger
Übungsblatt 13
Abgabe: Mittwoch, 16.12.2015, vor der Vorlesung.
MUST
Aufgabe 1
a) Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie umkehrbar ist?
b) Wie entsteht grafisch die Umkehrfunktion aus ihrer ursprünglichen Funktion?
STANDARD
Aufgabe 2 (6 Punkte)
a) Wir betrachten die Funktion y = f (x) = x2 − 4, wobei x ≥ 0 ist.
• (1 Punkt) Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) im angegebenen Bereich
injektiv ist.
• (1 Punkt) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f −1 (x).
• (1 Punkt) Bestimmen Sie aus Definitionsbereich D(f ) und dem Wertebereich W (f ) direkt D(f −1 ) und W (f −1 ).
• (1 Punkt) Zeichnen Sie f (x) und f −1 (x).
b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion y = f (x) = arctan(x)
für − π2 < x < π2 .
Hinweis: Betrachten Sie tan(y) = x.
Aufgabe 3 (5 Punkte)
a) (2 Punkte) Geben Sie eine implizite Lösung der DGL
y0 =
1
x(1 + sin(y))
an (siehe auch Storrer Seite 230).
b) (3 Punkte) Wir betrachten die DGL
y 0 = (y + 2)2 e−x
• (2 Punkte) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der DGL
1
• (1 Punkte) Gibt es eine spezielle Lösung, welche durch den Punkt (0/ − 2)
geht?
Hinweis: Betrachten Sie die singuläre(n) Lösung(en).
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Wir betrachten die logistische DGL
1
y 0 = − (y + 2)(y − 3)
5
a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
b) (1 Punkt) Bestimmen Sie die spezielle Lösung y(0) = 0. Diese sei f (x).
c) Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf der Funktion f (x). Betrachten Sie speziell
und berechnen Sie:
• (1/2 Punkt) Nullstelle(n)
• (1/2 Punkt) Hat es Pole?
• (1 Punkt) Berechnen Sie
lim f (x) und
x→∞
lim f (x)
x→−∞
• (1 Punkt) Zeigen Sie, dass es keine lokalen Maxima und Minima gibt.
Mit diesen Angaben sollten Sie die Funktion zeichnen können.
HONOURS
Aufgabe 5 (3 Punkte)
a) (1 Punkt) Warum lässt sich das Integral
Z
1
dx
2
x + 2x + 5
nicht wie in Aufgabe 4) mit der Partialbruchzerlegung lösen?
b) (2 Punkte) Bestimmen Sie das Integral, indem Sie es auf das Integral
Z
1
dx = arctan(x) + C
x2 + 1
zurück führen.
2

Download Report