TD23 - Classe de MPSI du Lycée Paul Valery

Lycée Paul Valery
MPSI
Exercice 5 : On cherche à déterminer les polynômes P non nuls de C[X] vériant
TD 23
Année 2014-2015
P (X 2 ) + P (X)P (X + 1) = 0.
1.
2.
3.
4.
Polynômes
Exercice 1 : Soit (a, b) ∈ K2 et P ∈ K[X] .
1. Montrer que le reste dans la division Euclidienne de P par X − a est P (a).
2. Déterminer le reste dans la division Euclidienne de P par (X − a)(X − b) lorsque
a 6= b puis lorsque a = b.
3. Soit θ ∈ R et n ∈ N.
Déterminer le reste de la division Euclidienne de (cos θ + X sin θ)n par X 2 + 1.
Montrer que si a est racine de P alors a2 aussi.
En déduire que a est racine de P , alors a ∈ {0} ∪ U.
Montrer que si a est racine de P , alors a − 1 ∈ {0} ∪ U.
En déduire qu'il existe λ ∈ C∗ et (α, β, γ, δ) ∈ N4 tels que :
P = λX α (X − 1)β (X − j)γ (X − j 2 )δ
5. Conclure.
Exercice 6 :
1. A l'aide du polynôme (X + 1)n déterminer les sommes :
n
X
n
k
k
Exercice 2 :
1. Déterminer l'ensemble des polynômes P tels que P (0) = 1 et P (1) = 2.
2. Déterminer l'ensemble des polynômes P tels que P (0) = 1, P (1) = 2, P 0 (0) = −1
et P 0 (1) = 0.
et
k=0
n
X
k=0
k2
n
k
2. Déterminer les sommes :
n
X
Exercice 3 : Relation de Bézout améliorée
Soit (A, B) ∈ K[X]2 tel que A ∧ B = 1 et (U0 , V0 ) ∈ K[X]2 tels que AU0 + BV0 = 1
1. Montrer que
k=0
n
X
(−1)k n
1
n
,
k+1 k
k=0
k+1
k
et
n
X
k3k
k=0
Exercice 7 :
1. Montrer que pour tout entier n, il existe un unique polynôme Pn tel que :
{(U, V ) ∈ K[X]2 : AU + BV = 1} = {(U0 + RB, V0 − RA), R ∈ K[X]}
2. En déduire qu'il existe un unique couple (U1 , V1 ) ∈ K[X]2 tel que AU1 +BV1 = 1,
deg U1 < deg B et deg V1 < deg A.
∗
∀z ∈ C ,
1
1
Pn z +
= zn + n
z
z
2. Pour tout entier n, simplier Pn (2 cos θ), θ ∈ R.
3. En déduire les racines de Pn .
Exercice 4 :
1. Montrer que pour tout entier n non nul, il existe un unique couple de polynômes
(Pn , Qn ) de degré strictement inférieur à n tel que
(1 − X)n Pn (X) + X n Qn (X) = 1.
2. Exprimer Qn en fonction de Pn et en déduire l'existence de cn ∈ R telle que
(1 − X)Pn0 (X) − nPn (X) = cn X n−1
3. En déduire les coecient de Pn .
1

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