T.D. - Alain Camanes

Calculs de Sommes
Stanislas
T.D. 2
MPSI 1
2014/2015
Partie I : Propriétés élémentaires
Définition 2.
Soient I un sous-ensemble ni de N et (zi )i∈I une famille
P de nombres complexes indexée par
I . La somme des nombres complexes (zi )i∈I est notée
zi .
i∈I
P
Par convention, si la famille I est vide, zi = 0.
i∈I
Exemple 1.
Soient m, n ∈ N tels que m 6 n. On suppose que I = Jm, nK = {m, . . . , n}.
zm + zm+1 + · · · + zn =
n
X
k=m
X
zk =
zk .
m6k6n
Exercice 1. Soient (m, n) ∈ (N? )2 tels que n > m et λ ∈ C. Calculer les sommes suivantes.
n
n
n
P
P
P
k(k + 1).
n.
3. S3 =
1.
2. S2 =
1. S1 =
k=1
k=m+1
k=m
Partie II : Changements d’indice
Exemple 2.
Dans la somme suivante, on eectue le changement de variable ` = k − 2.
n+2
X
k=3
X
k=
X
k=
36k6n+2
n
X
n(n + 1)
n(n + 5)
(` + 2) =
(` + 2) =
+ 2n =
.
2
2
36`+26n+2
`=1
Exercice 2. (Méthode de Gauss pour la somme des entiers) Soit n ∈ N? .
2n
n
n
P
P
P
1. Montrer que
k=
k+
(2n + 1 − `).
k=1
k=1
`=1
2. En déduire, sans récurrence, la valeur de
2n
P
k , puis celle de
2n+1
P
k=1
k.
k=1
Exercice 3. (Formule de Bernoulli) Soient (a, b, q) ∈ C3 et n ∈ N? .
1. Montrer sans récurrence que
n
n
a − b = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
2. Écrire cette formule lorsque n = 2.
3. Soit x un nombre réel. Factoriser 1 − x3 puis 1 + x3 .
4. En déduire la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier
terme 1.
Stanislas
A. Camanes
T.D. 2. Calculs de Sommes
MPSI 1
Exercice 4. (Autour de la formule de Pascal) Soient n, p ∈ N? . Calculer les sommes suivantes.
n
n−1
P
P p+i
k
1. S1 =
2. S2 =
p .
p .
k=p
Exercice 5. Soit n ∈
i=0
N? .
En utilisant la formule du binôme de Newton et les relations classiques
sur les coecients binomiaux, calculer les sommes suivantes.
n
n
n
n
P
P
P
P
1 n
(−1)k nk .
1. S1 =
2. S2 =
k 2 nk .
k nk .
4. S4 =
3. S3 =
k .
k=0 k + 1
k=1
k=1
n−1 n
Soient p = 2 et q = 2 . Avec des combinaisons linéaires, calculer les sommes suivantes.
p
q
p
q
P
P
P
P
n
n
n
k n et T =
5. S5 =
et
T
=
.
6.
S
=
(−1)
(−1)k 2k+1
.
5
6
6
2k
2k+1
2k
k=0
k=0
k=0
k=0
k=1
Partie III : Regroupements par paquets
Théorème 3 (Sommes télescopiques).
Soient m, n ∈ N et (zk )k∈Jm,n+1K une famille de nombres complexes. Alors,
n
X
(zk+1 − zk ) = zn+1 − zm .
k=m
Exercice 6. Soit n ∈ N? . On se propose de retrouver la somme des n premiers carrés d'entiers.
1. Soit k ∈ J1, nK. Montrer que (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1.
n
P
2. En déduire sans récurrence
k2 .
k=1
3. Par une méthode analogue, retrouver la somme
n
P
k3 .
k=1
Exercice 7. Calculer les sommes suivantes.
n
n
P
P
1
.
2.
S
=
k · (k!).
1. S1 =
2
k(k+1)
3. S3 =
Exercice 8. Calculer les sommes suivantes
n
3n−1
P
P k
1. S1 =
(2k + 1)2 .
2. S2 =
3 .
3. S3 =
k=1
k=1
k=1
n
P
k=1
k=1
k
(k+1)! .
2 −1 j
nP
√
k
k .
k=1
Exercice 9. Déterminer le dernier chire, puis les deux derniers chires de l'écriture décimale du
2014
P
nombre
k!.
k=0
Partie IV : Somme double
Exercice 10. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient n un entier naturel non nul et
(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) ∈ R2n . En développant
X
(ai bj − aj bi )2 =
16i,j6n
i=1 j=1
montrer l'inégalité
n
X
i=1
Stanislas
n X
n
X
(ai bj − aj bi )2 ,
!2
ai bi
6
n
X
i=1
!
a2i
n
X
!
b2i
.
i=1
A. Camanes

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