Devoir no 14 - Tourbillon

MPSI I
2012-2013
Mathématiques
Devoir no 14
Premier problème
Problème 1 Partie 1 Solutions d’une équation diﬀérentielle ¡
¢
Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé O,~ı,~ .
1
x
On considère l’équation diﬀérentielle (E) : 1 + x 2 y 0 + 2x y = .
¡
¢
Question 1 Résoudre (E) sur R∗+ .
Question 2 Pour tout réel λ, on déﬁnit la fonction f λ sur R∗+ par : ∀x > 0
f λ (x) =
on note (Cλ ) sa courbe représentative dans O,~ı,~ .
¡
¢
ln x + λ
et
1 + x2
1. Soit M(α, β) un point du plan avec α > 0. Montrer que par M passe une et une seule courbe
(Cλ ).
2. Montrer que pour tout réel λ, la fonction f λ est de classe C∞ sur R∗+ .
3. Montrer que pour tout x > 0, f λ0 (x) est du signe de g λ (x) = 1 + x 2 − 2x 2 (ln x + λ).
4. Étudier les variations de g λ . On montrera en particulier que l’équation g λ (x) = 0 admet une
et une seule solution sur R∗+ ; cette solution sera notée m λ .
5. Dresser le tableau de variations de f λ . On calculera les limites de f λ en 0 et +∞, et on
montrera que f λ (m λ ) =
1
2m λ2
.
6. Représenter sur un même graphique les courbes (C−1 ), (C0 ) et (C1 ). On donnera des valeurs
approchées de m −1 et m0 à 10−2 près en précisant la méthode utilisée, ainsi que la valeur
exacte de m 1 .
Question 3 Dans cette question, on cherche un équivalent de mλ lorsque λ tend vers +∞.
1. Montrer que pour λ assez grand, on a :
1
1
É mλ É p .
λ
λ
1
2. En déduire, à l’aide des questions précédentes, que mλ ∼ p
+∞
2λ
.
Partie 2 Étude d’une
fonction
Z
Z intégrale On étudie dans cette partie la fonction F déﬁnie
par : ∀x > 0
Question 4
x
F(x) =
1
x
f 0 (t ) dt =
1
ln t
dt . La courbe représentative de F sera notée Γ.
1+ t2
1. Déterminer le signe de F sur R∗+ .
2. Justiﬁer la continuité et la dérivabilité de F sur R∗+ .
3. Calculer F0 (x) pour x > 0.
4. Écrire le développement limité de F à l’ordre 3 au voisinage de x = 1.
1
Question 5 Montrer que : ∀x > 0
Question 6
F(x) = F
µ ¶
1
.
x
1. Soit ϕ la fonction déﬁnie sur R∗+ par : ∀x > 0
Montrer que ϕ est prolongeable par continuité en 0.
2. Montrer que : ∀x > 0
x
Z
F(x) = Arctan x ln x −
1
ϕ(x) =
Arctan x
.
x
ϕ(t ) dt .
3. En déduire que F est prolongeable par continuité en 0. La nouvelle fonction ainsi obtenue
sera encore notée F.
Que peut-on dire de F au voisinage de +∞ ?
4. Montrer que F n’est pas dérivable à droite en 0. Que peut-on dire de Γ au point d’abscisse 0 ?
Question 7 Dans cette question, on cherche à calculer une valeur approchée de F(0).
1. Pour k ∈ N et x > 0, calculer Ik (x) =
x
Z
1
t k ln t dt .
n
X
1
x 2n+2
=
(−1)k x 2k + (−1)n+1
.
2
1+x
1 + x2
k=0
¯
¯
¯
¯
n
X
¯
¯
k
3. En déduire, pour n ∈ N et x ∈ ]0, 1[, une majoration de ¯F(x) − (−1) I2k (x)¯.
¯
¯
k=0
2. Montrer que : ∀n ∈ N ∀x > 0
4. On pose, pour n ∈ N, u n =
Montrer que : ∀n ∈ N
(−1)k
.
2
k=0 (2k + 1)
n
X
|F(0) − u n | É
1
(2n + 3)2
.
5. Donner, en détaillant la méthode utilisée, une valeur approchée à 10−2 près de F(0).
Question 8 Tracer l’allure de la courbe Γ. On précisera le point d’inﬂexion.
Deuxième problème
Problème 2 Dans tous le problème, l’espace vectoriel R3 est muni de sa structure euclidienne
orientée usuelle et rapportée à sa base canonique (orthonormée directe) notée (e 1 , e 2 , e 3 ).
On note L (R3 la R-algèbre des endomorphismes de R3 , M3 (R) la R-algèbre des matrices d’ordre
3 à coeﬃcients réels et I3 la matrice identité.
Il est demandé de faire ﬁgurer tous les calculs sur la copie.

5
1
Partie 1 Soit s l’endomorphisme de R3 de matrice S = −1
3
−1
Question 1 Montrer que s est un automorphisme de R3 .
Question 2 Soient e 10 = (1, 1, 1), e 20 = (1, −1, 0) et e 30 = (1, 1, −2).
1. Montrer que (e 10 , e 20 , e 30 ) est une base de R3 .
2
−1
5
−1

−1
−1 dans la base canonique.
5
2. Déterminer la matrice S 0 de s dans la base (e 10 , e 20 , e 30 ).
3. Calculer (S 0 )n et donner une méthode de calcul de S n (on ne demande pas d’eﬀectuer lesdits
calculs).
Question 3
1. La famille (I3 , S) est-elle libre dans M3 (R) ?
2. Montrer que S 2 peut s’exprimer sous forme de combinaison linéaire de I3 et S .
3. En déduire que pour tout n ∈ N, il existe un unique couple (an , bn ) de réels tel que S n =
a n I3 + b n S (on convient que : ∀M ∈ M3 (R) M0 = I3 ).
4. Donner les valeurs de a0 , b0 , a1 , b1 et exprimer, pour n ∈ N, an+1 et bn+1 en fonction de
a n et b n .
5. Montrer que la suite (an +bn )n∈N est constante, puis que la suite (bn +1)n∈N est géométrique.
6. En déduire l’expression de an et bn pour tout n ∈ N.
Question 4 Soit B = S − 2I3 .
1. Calculer Bn pour n ∈ N.
2. En déduire l’expression de S n en fonction de I3 et B pour n ∈ N (on pourra, après justiﬁcation, utiliser la formule du binôme de Newton).
3. Comparer avec le résultat de la question 3.
Question 5 L’expression de S n obtenue aux questions 3 et 4 est-elle valable pour n ∈ Z ?


−1 −1 5
1
Partie 2 Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice A =  5 −1 −1 dans la base canonique.
3
−1 5 −1
On pose : u = f ◦ s −1 et on note U la matrice de u dans la base canonique.
Question 6 Calculer U ; vériﬁer que u est une rotation vectorielle et que u ◦ s = s ◦ u = f .
Question 7 Soit (e 100 , e 200 , e 300 ) la famille obtenue en normant les vecteurs e 10 , e 20 et e 30 de la question
2 de la première partie.
1. Montrer que (e 100 , e 200 , e 300 ) est une base orthonormale directe.
2. Écrire la matrice U 0 de u dans cette base et caractériser géométriquement u .
Question 8
1. Quel est l’ensemble des vecteurs invariants par f ?
2. Soit P = Vect(e 200 , e 300 ).
(a) Montrer que f (P) = P .
(b) Soit g l’endomorphisme de P tel que pour tout x de P, g (x) = f (x). Montrer que g est
la composée de deux applications linéaires simples que l’on reconnaîtra.
Question 9 On note C ( f ) l’ensemble des endomorphismes de R3 commutant avec f , c’est à dire
l’ensemble des endomorphismes g tels que f ◦ g = g ◦ f .
1. Montrer que C ( f ) est une sous-algèbre de L (R3 ).
2. Soit g ∈ C ( f ).
(a) Montrer que le vecteur g (e 100 ) est invariant par f ? Que peut-on en déduire ?
3
(b) Soit M la matrice de g dans la base (e 100 , e 200 , e 300 ). Montrer que M commute avec (S 0 )3 .
(c) En déduire la forme générale de la matrice d’un endomorphisme de C ( f ) dans la base
(e 100 , e 200 , e 300 ).
3. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel C ( f ) ?
4

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