Devoir Libre n˚2 PSI MATHEMATIQUES (à rendre le 10 Octobre 2014) Problème I : Autour des polynômes d’interpolation de Lagrange K désigne soit R soit C. 1 Définition des polynômes d’interpolation de Lagrange Soit n un entier naturel et (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Kn+1 deux à deux distincts. On note B0 = (X i )0 i n la base canonique de Kn [X]. 1. Montrer que l’application ϕ Kn [X] −→ Kn+1 P −→ (P (a0 ), P (a1 ), · · · , P (an )) est un isomorphisme. 2. En déduire : ∀(λ0 , · · · , λn ) ∈ Kn+1 , ∃!P ∈ Kn [X], ∀i ∈ {0..n}, P (ai ) = λi . 3. Justifier alors, que pour i ∈ {0..n}, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à n, que l’on notera Li , tel que : Li (a0 ) = 0, Li (a1 ) = 0, · · · , Li (ai ) = 1, · · · , Li (an ) = 0 Li s’appelle le ime polynôme d’interpolation de Lagrange associé à la famille de scalaires (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Kn+1 . 4. Dans cette question n = 2 et ∀i ∈ {0..2}, ai = i. a. Déterminer la famille B = (L0 , L1 , L2 ). b. Montrer que B est une base de K2 [X]. c. Etablir que, pour tout polynôme P de K2 [X], P = P (a0 )L0 + P (a1 )L1 + P (a2 )L2 d. D’après ce qui précède, donner les coordonnées de P dans la base B. e. Donner la matrice de changement de base de B0 à B et, en utilisant la question précédente, donner son inverse. 5. On revient à n quelconque a. Justifier que, ∀i ∈ {0..n}, n Π Li (X) = k=0 k=i (X − ak ) n Π k=0 k=i (ai − ak ) b. Montrer que B = (Li )i∈{0..n} est une famille libre, maximale donc une base de Kn [X]. n c. Montrer que : ∀P ∈ Kn [X], P = P (ai )Li . i=0 1 d. D’après ce qui précède, donner les coordonnées de P dans la base B. e. Soit A la matrice de changement de base de B0 à B .En utilisant la question précédente, donner son inverse. n f. Montrer que 1 = Lj . j=0 g. En déduire que la somme des éléments de la première ligne de A est égale à 1 et que la somme des éléments de toute autre ligne de A est égale à 0. 2 Quelques applications Dans chaque partie suivante, vous devrez à un moment donné, utiliser les polynômes d’interpolation de Lagrange associés à une famille (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Kn+1 convenablement choisie (n sera également à choisir) et utiliser les propriétés précédemment établies. 2.1 Déterminer l’unique polynôme P de R3 [X] tel que : P (−1) = 1, P (2) = −1, P (4) = 3, P (10) = 2 . 2.2 1 . Calculer P (n + 2). k Indication : faire intervenir les polynômes de lagrange associés à {1..n + 1} et exprimer n+2 Lk (n + 2) en fonction de . k Soit P de degré n tel que, pour tout k ∈ {1..n + 1}, P (k) = 2.3 Soit n un entier naturel et (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn+1 deux à deux distincts. Soit E l’espace vectoriel des applications continues sur R à valeurs dans R. Déterminer un supplémentaire dans E du sous espace vectoriel F suivant : F = {f ∈ E/∀i ∈ {0..n}, f (ai ) = 0} . 2.4 Soit n un entier naturel et (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn+1 deux à deux distincts et B = (Li )i∈{0..n} la base de Rn [X] des polynômes d’interpolation de Lagrange associés . Les trois questions suivantes sont indépendantes. n am k Lk (0). 1. Pour m ∈ {1, 2, · · · , n}, on pose : sm = k=0 Calculer sm . n 2. Dans cette question, Q est un polynôme de R[X]. On pose Q1 = Q − Q(ai )Li . i=0 a. Montrer que Q1 admet au moins n + 1 racines réelles à préciser. n n an+1 Lk (0) k b. on pose : sn+1 = an+2 Lk (0). k et sn+2 = k=0 k=0 2 n i. Déduire de la question précédente que sn+1 = (−1)n . i=0 n ii. Calculer sn+2 en fonction de n, n ak , k=0 ak . k=0 3. Dans cette question, Q est un polynôme unitaire (c’est à dire de coefficient dominant égal à 1) de Rn [X] de degré égal n. On suppose de plus que (a0 , a1 , · · · , an ) sont des entiers relatifs vérifiant a0 < a 1 < · · · < a n n Pour k ∈ {0, 1, · · · , n}, on note bk = Π j =0 j =k a. Prouver que : |bk | (ak − aj ). k!(n − k)!. n b. Déduire de 1.5.(c) que k=0 Q(ak ) = 1.penser aux coefficients dominants bk c. On définit M par M = max |Q(ak )|. Démontrer que M 0 k n 3 n! . 2n Problème II : Etude de séries dont le terme général est le reste d’une série convergente. Soit n0 un entier naturel fixé. Soit an une série convergente. On définit pour n n n0 +∞ entier naturel supérieur ou égal à n0 , rn son reste de rang n : rn = ak . k=n+1 rn dans trois exemples Le but de l’exercice est d’étudier la convergence de la série n n0 différents. Exemple 1 1 . 2n Calculer rn puis montrer que 1. On pose pour n 0, an = rn converge et calculer sa somme. n 0 Exemple 2 1 . n2 Nous allons chercher un équivalent de (rn ). Soit k un entier supérieur ou égal à 1. 1 1 1 . a. Montrer que ∀t ∈ [k, k + 1] , 2 2 (k + 1) t k2 b. En déduire que pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier N N N N +1 1 1 dt . supérieur à 2 et à n + 1, on a : 2 2 2 (k + 1) t k n+1 k=n+1 k=n+1 2. On pose pour n 1, an = c. En déduire que pour tout entier naturel non nul n, on a : 1 1 1 rn + . n+1 n + 1 (n + 1)2 d. Donner alors un équivalent de (rn ) lorsque n est au voisinage de +∞. rn ? Que peut-on en conclure sur la nature de la série n 1 Exemple 3 (−1)n On pose pour n 1, an = . n 3. Justifier la convergence de an . n 1 4. Expression intégrale de rn . 1 Soit n un entier naturel non nul. On définit la suite (In ) par In = (−1)n 0 xn d x. 1+x a. Montrer que lim In = 0. n→+∞ n−1 (−1)k . On pourra calculer (−x)k . b. Montrer que In = ln 2 + k k=0 k=1 +∞ (−1)n c. En déduire la valeur de , puis exprimer rn en fonction de In . n n=1 5. Conclusion a. En utilisant une intégration par parties, montrer que l’on a : (−1)n 1 In = +O où a ∈ R et α > 1 sont à déterminer. a(n + 1) nα n rn . b. En déduire la nature de la série n 4 1