Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Mathématiques
BCPST2
2014-2015
Feuille de TD 05
Révisions nombres complexes, polynômes et algèbre linéaire dans Rn ou Cn
Les exercices ou questions avec ? sont importants, ceux avec ?? indispensables. On ne traitera pas toutes les questions dans les
exercices composés de plusieurs questions similaires.
Exercice 1.—
Résoudre les équations suivantes d’inconnue t ∈ R :
t2 (λ + 1) − 2t + λ − 1 = 0 ,
t2 (λ + 1) − 4t + λ − 1 = 0 ,
4t + 2t2 − 6t3 − 2t4 + 2t5 = 0 .
Pour les deux premières, on discutera en fonction de la valeur du paramètre λ ∈ R. On pourra également rechercher les solutions
complexes.
Exercice 2.-?Montrer que pour tout (λ, µ) ∈ R2 il existe des réels a, ω, φ tels que :
λ cos t + µ sin t = a cos(ωt + φ) .
En déduire la solution des équations et de l’inéquation suivantes :
cos t + sin t = λ ,
cos t + 2 sin t = λ ,
cos t − sin t > 0 ,
où λ est un paramètre réel.
Exercice 3.-?- Complexes : Questions diverses
√
1. Pour tout k ∈ {1, 2, 3, 4},
les réels ρk > 0 et θk ∈ [0, 2π[ tels que zk = ρk eiθk , avec z1 = 1 + i 3,
√ déterminer
1+i
z2 = −1 + i, z3 = 3 − i 3, z4 = 1−i
.
2. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des z ∈ C tels que z 2 + 2z + 2 est respectivement nul, réel ou
imaginaire pur.
3. En utilisant la relation ei(α+β) = eiα eiβ , retrouver l’expression de cos(α + β) et sin(α + β) en fonction de cos α, cos β,
sin α, sin β. En déduire les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12) en établissant un système linéaire de deux équations à
π
.
deux inconnues dont ces nombres (en couple) sont solution. Prendre α = π6 et β = 12
4. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z ∈ C \ {−1} tels que
i−z
1+z
est réel.
Exercice 4.-??- Module et argument
√ n
√ n
Calculer le module et l’argument de 1 + i 3 − 1 − i 3 . Même question avec
(déterminer les valeurs de b pour lesquelles cette expression a un sens).
Exercice 5.-?Déterminer :
1) Les racines carrées de i, 1 + i,
1
2
−
√
2) Les racines cubiques de 4(1 + i 3).
√
i 3
2 ,
1+cos a+i sin a
1+cos b+i sin b ,
où a et b sont deux réels
√
11 + 4i 3.
Exercice 6.-?Soit ω = P
exp (i2π/n) avec n un entierP
strictement positif.
n
n
n
Calculer k=1 ω kp (avec p ∈ N) puis k=1 z + ω k où z est un complexe quelconque.
Exercice 7.-??- Linéarisation de polynômes trigonométriques
Soit f (x) := cos2 x sin x, g(x) := sin3 x. Linéariser ces expressions, calculer, par deux techniques différentes chacune des
intégrales suivantes
Z
Z
π
π
f (x) dx et
0
g(x) dx.
0
Exercice 8.— Antilinéarisation
Calculer cos 5x en fonction de cos x et sin 5x en fonction de sin x. En déduire la valeur de cos (π/10) .
Exercice 9.-?- Une équation trigonométrique
Soient n un entier naturel non nul. Résoudre l’équation d’inconnue x
cos x + cos 2x + · · · + cos (nx) = 0.
Exercice 10.— Une somme de cosinus
Soient n un entier naturel non nul et a et b deux réels. Calculer
n X
n
cos (a + kb) .
k
k=0
Exercice 11.-?- Suite définie par une récurrence homographique
On considère la fonction f de variable complexe définie par la formule f (z) = z−1
z+1 .
1. Quel est le domaine de définition de f .
2. Résoudre successivement les équations, d’inconnue z ∈ Df , f (z) = 1, f (z) = 0, f (z) = −1.
3. Chercher les points fixes de f , i.e les solutions de l’équation f (z) = z d’inconnue z ∈ Df . Sans trop de calculs, il y en a
probablement deux, pourquoi ? Les trouver explicitement et les nommer α et β.
4. Soit (zn )n∈N la suite définie par récurrence par z0 ∈ C et
∀n ∈ N, zn+1 = f (zn )
4.a. Pour quelles valeurs de z0 cette suite n’est-elle pas bien définie ?
On exclut dorénavant ces cas.
4.b. Montrer que s’il existe n ∈ N tel que zn = α ou zn = β alors la suite zn est constante.
On exclut dorénavant les cas z0 = α et z0 = β.
5. On pose, pour n ∈ N, un = zznn −α
−β .
5.a. Après avoir exprimé zn en fonction de un , montrer que la suite (un )n∈N est une suite géométrique dont on déterminera la
raison et le premier terme.
5.b. Donner une formule fermée pour zn .
Exercice 12.— Spirale logarithmique
Soit α ∈ R fixé.
On considère la fonction f : R → C définie par f (t) = e(1+iα)t pour t ∈ R.
1. Placer sur un graphique, de façon cohérente, les points d’affixes f (t) pour les valeurs de t suivantes :
t = 0, t =
2π
2π
,t = − ,
α
α
π
π
3π
,t = − ,t =
α
α
α
π
π
3π
3π
t=
,t = − ,t =
,t = −
2α
2α
2α
2α
Placer les valeurs de t précédentes dans l’ordre et, en utilisant cet ordre relier par des segments de droite deux points f (t)
consécutifs.
Pourriez vous donner l’allure de l’ensemble des points dont les affixes sont les nombres de l’ensemble {f (t), t ∈ R} ?
2. Calculer |f (t)|. En déduire que si 0 < R− < R+ sont deux réels, la portion de courbe comprise dans l’anneau {z ∈ C :
R− < |z| < R+ } est la trajectoire sur un intervalle du type ]t− , t+ [ dont on déterminera les extrémités en fonction de R− et R+ .
3. Déterminer la longueur de courbe contenue dans l’anneau précédent, à savoir
Z t+
|f 0 (t)| dt.
t=
t−
Exercice 13.—
Discuter, suivant les valeurs des nombres réels a and b, du degré des polynômes P , Q, P + Q et P Q si
P (X) = aX 3 − bX 2 + bX + a et Q(X) = bX 2 + a2 X.
Exercice 14.—
1. Résoudre l’équation Q2 = XP 2 , où les inconnues P et Q sont des polynômes à coefficients complexes en l’indéterminée X.
2. De même, résoudre l’équation d’inconnue P ∈ C[X]
(P 0 )2 = 4P.
Exercice 15.-?1. Trouver un polynôme P tel que
P (X + 1) − P (X) = X 2
Pn
et en déduire la valeur de i=1 i2 . Indication:Commencer par déterminer
le degré d’un tel polynôme P
Pn
2. Déterminer par la même méthode une formule fermée pour i=1 i3 .
Exercice 16.—
Démontrer que
P (X) = 1 +
X2
Xn
X
+
+ ... +
.
1!
2!
n!
a n racines distinctes dans C.
Exercice 17.—
Soit P ∈ C[X] un polynôme tel que l’application polynomiale correspondante P : C → C soit bornée (i.e. il existe une
constante C > 0 telle que |P (z)| ≤ C pour tout nombre complexe z). Montrer qu’en fait P est constant.
Exercice 18.—
Soit P = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1.
1. En remarquant que P est la somme d’une suite géométrique, déterminer les racines complexes de P .
2. En déduire la factorisation de P en produit de facteurs irréductibles dans C[X].
3. Donner la factorisation de P dans R[X], et en déduire des expressions explicites pour cos(2π/5) et cos(4π/5) à l’aide de
racines carrées.
Exercice 19.—
n
Soit n ≥ 2. On pose P = (X + 1) − 1.
1. Déterminer toutes les racines de P dans C, puis factoriser P .
2. Soit Q ∈ C [X] , de degré supérieur ou égal à 1. Exprimer la relation existant entre le produit des racines de Q et le terme
constant dans Q.
3. Déterminer un polynôme Q vérifiant P = XQ puis calculer à l’aide du 2 :
n−1
Y
sin
k=1
kπ
n
.
Exercice 20.-?R 2π
1. Si P ∈ C[X] et k ∈ Z, que vaut 0 e−ikx P (eix )dx ?
2. Trouver tous les réels t tels qu’il existe P ∈ C[X] vérifiant
∀x ∈ R, P (eix ) = eitx .
Exercice 21.-?-On considère les systèmes suivants :
2x + 3y − z = −2
x + 2y + 5z = 5
(I)
5x + 8y + 3z = 1
3x − 2y + 2z
3x − 2y + 3z
(II)
2x − 2y + 3z
= λx
= λy (λ est un paramètre).
= λz
1. Donner l’écriture matricielle de ces systèmes. Les interpréter en termes d’application linéaires.
2. Résoudre ces deux systèmes en utilisant la méthode des pivots de Gauss (pour (II), commencer par échanger la ligne 3 et la
ligne 1).
Exercice 22.-?-En utilisant la méthode des pivots de Gauss, déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et si c’est le cas,
calculer leur inverse, sinon, donner leur rang :
2
1
3
2 5
3 −1 .
A=
B= 1
1 2
3 −1
7
Comment interpréter ceci sur les applications linéaires φA : R2 → R2 , X 7→ A.X et φB : R3 → R3 , X 7→ B.X ?
Exercice 23.-?-On considère la matrice :
−3
M = −2
2
4
3
−2
2
1 .
0
Calculer M 2 et montrer qu’on peut écrire M 2 comme combinaison linéaire de M et de I3 . En déduire que M est inversible et
donner son inverse.
Exercice 24.-?-Pour la matrice suivante, calculer A3 et en déduire que A n’est pas inversible.
2 1 −4
A = 0 1 −2 .
1 1 −3
Exercice 25.-?-Calculer An avec :
1
1
1
1
1 .
1
1
2
0
0
1 .
2
1
A= 1
1
Exercice 26.-?-Calculer, pour n ≥ 2, An avec :
2
A= 0
0
Exercice 27.-?-Pour A ∈ Mn (K), on appelle trace de A la somme des éléments diagonaux de A, c’est-à-dire :
Si A = (ai,j )1≤i,j≤n alors Tr (A) =
n
X
ai,i .
i=1
1. Montrer que pour toutes les matrices A et B carrées de taille n et tous les scalaires λ, Tr (λA + B) = λTr (A) + Tr (B) .
2. Montrer que pour toutes les matrices A et B carrées de taille n, Tr (AB) = Tr (BA) .
3. En déduire qu’il n’existe pas de matrices A et B carrées de taille n telles que AB − BA = In .
Corrections à la carte
Correction Ex.–15 1. On cherche un polynôme P tel que P (X + 1) − P (X) = X 2 .
Il est clair, par les règles sur le degré que si Q est un polynôme degré ≤ d, alors Q(X + 1) − Q(X) est de gré inférieur à d.
Supposons que le degré de ce polynôme soit d ∈ N et que le terme dominant ( i.e. de plus haut degré) soit pd X d et donc que
P = pd X d + Q où Q est un polynome de degré ≤ d − 1. On a, en développant avec le binôme de N EWTON
P (X + 1) − P (X) = pd (X + 1)d − pd X d + Q(X + 1) − Q(X) = polynôme de degré d − 1
{z
} |
{z
}
|
degré=d − 1
degré≤ d − 1
Si P est solution de notre problème, son degré d vérifie donc d − 1 = 2, i.e. d = 3.
Cherchons P sous la forme P = p3 X 3 + p2 X 2 + p1 X + p0 . On a, par le binôme de N EWTON,
P (X + 1) − P (X)
=
p3 (3X 2 + 3X + 1) + p2 (2X + 1) + p1
=
3p3 X 2 + (3p3 + 2p2 )X + (p3 + p2 + p1 )
Pour que P vérifie l’égalité cherchée, il suffit que
3p3 = 1, 3p3 + 2p2 = 0 et p3 + p2 + p1 = 0
En résolvant ce système, on trouve que ceci équivaut à
1
1
1
, p2 = − et p1 =
3
2
6
(Notons qu’il n’y a pas de contrainte sur p0 ,on prend p0 = 0 car il nous suffit de trouver UN polynôme P , pas tous) Finalement,
le polynôme
1
1
P = (2X 3 − 3X 2 + X) = .X(X − 1)(2X − 1)
6
6
vérifie P (X + 1) − P (X) = X 2 .
On a
n
n
n
X
X
X
i2 =
i2 =
P (i + 1) − P (i)
p3 =
i=1
i=0
i=0
=
P (n + 1)
(Somme téléscopique)
(n + 1).n.(2n + 1
=
6
Ce qui est la formule bien connue de tous
Pn les amateurs.
2. Pour déterminer une formule pour i=1 i3 , il nous suffit de trouver un polynôme P vérifiant P (X + 1) − P (X) = X 3 et
d’appliquer la même méthode.
Un tel polynôme P , s’il existe, doit être de degré 4
Cherchons P sous la forme P = p4 X 4 + p3 X 3 + p2 X 2 + p1 X + p0 . On a, par le binôme de N EWTON,
P (X + 1) − P (X)
= p4 (4X 3 + 6X 2 + 4X + 1) + p3 (3X 2 + 3X + 1) + p2 (2X + 1) + p1
=
4p4 X 3 + (6p4 + 3p3 )X 2 + (4p4 + 3p3 + 2p2 )X + (p4 + p3 + p2 + p1 )
Pour que P vérifie l’égalité cherchée, il suffit que
4p4 = 1, 6p4 + 3p3 = 0, 4p4 + 3p3 + 2p2 = 0 et p4 + p3 + p2 + p1 = 0
En résolvant ce système, on trouve que ceci équivaut à
p4 =
1
1
1
, p3 = − , p2 = et p1 = 0
4
2
4
Finalement, le polynôme
P =
1 4
1
(X − 2X 3 + X 2 ) = .X 2 (X − 1)2
4
4
vérifie P (X + 1) − P (X) = X 3 .
On a
n
X
i=1
i3
=
n
X
P (i + 1) − P (i)
i=0
(n + 1)2 .n2
4
Ce qui est une formule bien connue des vrais amateurs. Il est assez amusant que la somme des n premiers cubes d’entiers soit le
carré de la somme des n premiers entiers.
= P (n + 1) =
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