Chapitre 14 Polynômes à une indéterminée - Fractions rationnelles
Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.
I - Construction de K[X]
I.1 - Suites presque nulles
Définition 1 (Suite presque nulle).
Soit (un )n∈N une suite d'éléments de K. La suite u est
nuls à partir d'un certain rang.
presque nulle si tous ses termes sont
Exercice 1. Montrer que l'ensemble des suites presque nulles est un K-espace vectoriel.
Définition 2 (Produit interne).
Soient u et v deux suites presque nulles. La multiplication interne, notée ×, est dénie par
!
n
X
uk vn−k
.
(un )n∈N × (vn )n∈N =
k=0
n∈N
Théorème 1 (Structure).
L'ensemble des suites presque nulles muni de l'addition, de la multiplication interne × et de
la multiplication externe est une K-algèbre commutative.
I.2 - Polynômes
Définition 3 (Indéterminée).
Le symbole de Kronecker est la fonction de deux variables δij dénie par δij = 1 si i = j et 0
sinon. On note X = (0, 1, 0, · · · ) = (δ1n )n∈N . La suite X est l'indéterminée .
Propriété 1.
Pour tout p ∈ N, X p = (δpn )n∈N .
Définition 4 (Polynômes à une indéterminée).
Un polynôme à une indéterminée à coecients dans K est une suite presque nulle d'éléments
de K. L'ensemble des polynômes à une indéterminée est noté K[X].
Théorème 2.
(i). (K[X], +, ×, ·) est une K-algèbre commutative.
(ii). Soit P ∈ K[X], P 6= 0. Il existe un unique entier naturel n et une unique (n + 1)-liste
n
P
(a0 , . . . , an ) ∈ Kn+1 tels que an 6= 0 et P =
ak X k . C'est la représentation canonique
k=0
de P .
Notation.
Dans toute la suite, sauf mention contraire, P désigne un polynôme de K[X] de représentation
n
P
canonique P =
ak X k . Q désigne un polynôme de K[X].
k=0
Stanislas
A. Camanes
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Définition 5.
Soit P ∈ K[X] non nul.
degré de P .
ak est le coecient de degré k de P .
an est le coecient dominant .
Si an = 1, P est unitaire ou normalisé .
Le degré du polynôme nul est −∞.
L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n est noté Kn [X].
(i). n est le
(ii).
(iii).
(iv).
(v).
(vi).
Corollaire 3 (Identification polynomiale).
P = Q si et seulement si P et Q ont même degré et mêmes coecients.
I.3 - Propriétés élémentaires
Propriété 2 (Degré & Opérations).
Soit λ ∈ K? .
(i). deg(P + Q) 6 max{deg(P ), deg(Q)}, avec égalité si deg(P ) 6= deg(Q).
(ii). deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q).
(iii). deg(λP ) = deg(P ).
Exercice 2. Montrer que l'inégalité du (i) peut être stricte si deg(P ) = deg(Q).
Définition 6 (Composition).
La composée de P et Q est le polynôme P ◦ Q =
n
P
a k Qk .
k=0
Exercice 3.
1. Soit Q = X 2 + 1 et P = (X + 1)(3X 2 + 5). Calculer P ◦ Q et Q ◦ P .
2. Montrer que la loi ◦ est associative.
3. Un polynôme P est pair si P (X) = P (−X). Montrer que P est pair si et seulement si ses
coecients de degrés impairs dans la décomposition canonique sont nuls.
Propriété 3 (Degré & Composition).
Soient P, Q ∈ K[X] deux polynômes non nuls. deg(P ◦ Q) = deg(P ) · deg(Q).
Théorème 4 (Intégrité).
L'anneau K[X] est un anneau intègre.
II - Diviseurs & Racines
II.1 - Divisibilité
Définition 7 (Multiple, Diviseur).
Le polynôme P divise Q, ou Q est un
que Q = P × R. On note P |Q.
multiple de P , s'il existe un polynôme R ∈ K[X] tel
Exercice 4. Montrer que si P |Q et Q 6= 0, alors deg(P ) 6 deg(Q).
Définition 8 (Polynômes associés).
Si P |Q et deg(P ) = deg(Q), les polynômes P et Q sont
Stanislas
associés .
A. Camanes
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Exercice 5. Montrer que P et Q sont associés si et seulement s'il existe un scalaire λ ∈ K? tel que
P = λQ si et seulement si P |Q et Q|P .
Définition 9 (Polynômes irréductibles).
Soit P ∈ K[X] tel que deg(P ) > 1. Le polynôme P est
diviseurs est {α, λP ; α, λ ∈ K? }.
irréductible si l'ensemble de ses
II.2 - Division euclidienne
Théorème 5 (Division euclidienne).
Soient A, B ∈ K[X] tels que B 6= 0. Il existe un unique couple de polynômes (Q, R) tels que
deg(R) < deg(B) et A = BQ + R.
∗ Cette décomposition est la division euclidienne de A par B .
∗ Q est le quotient de la division euclidienne de A par B .
∗ R est le reste de la division euclidienne de A par B .
Exercice 6.
1. Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de X 5 + X 4 + 2X 3 + 1 par X 2 + 4.
2. Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Déterminer le reste de la division euclidienne de P par X − α.
III - Fonctions polynomiales
III.1 - Dénitions
Notation.
(A, +, ×, ·) désigne une K-algèbre.
Définition 10 (Fonction polynomiale).
La fonction polynomiale Pe : A → A est dénie par
∗ Si P = 0, ∀ x ∈ A, Pe(x) = 0A .
n
P
∗ Si P 6= 0, ∀ x ∈ A, Pe(x) = a0 1A +
ak xk .
k=1
Propriété 4.
Soient λ ∈ K et x ∈ A.
e .
(i). P^
+ Q(x) = Pe(x) + Q(x)
g
e .
(ii). P
Q(x) = Pe(x) · Q(x)
f (x) = λPe(x).
(iii). λP
e .
^
(iv). P
◦ Q(x) = Pe ◦ Q(x)
En particulier, l'application ϕ : K[X] → AA , P 7→ Pe est un morphisme d'anneaux.
III.2 - Racines d'un polynôme
Définition 11 (Racine).
Soit α ∈ A. α est un
de P .
zéro de P dans A si Pe(α) = 0A . Lorsque A = R ou C, α est une racine
Exercice 7.
1. Soient a, b, c ∈ C. Déterminer les racines du polynôme aX 2 + bX + c dans C.
2. Déterminer les racines du polynôme X 2 − X dans C.
Stanislas
A. Camanes
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Théorème 6 (Racine).
Soit α ∈ K.
(i). α est une racine de P dans K si et seulement si (X − α)|P .
(ii). Soit n ∈ N. Un polynôme de degré n admet au plus n racines distinctes dans K.
Exercice 8. Montrer que la fonction dénie sur C par z 7→ ez n'est pas polynomiale.
Théorème 7.
On rappelle que K = R ou C. Notons Pol(K, K) l'ensemble des fonctions polynomiales de K
dans K. L'application ψ : K[X] → Pol(K, K), P 7→ Pe est un isomorphisme d'anneaux.
Définition 12 (Racine multiple).
Soient α ∈ K et k ∈ N? . α est une racine d'ordre k de P si (X − α)k |P et (X − α)k+1 6 |P .
Si k = 1, α est racine simple ; si k = 2, racine double ; si k = 3 racine triple . De manière
générale, si k > 2, α est racine multiple .
Exercice 9. Déterminer les racines du polynôme X 5 − X 4 − X + 1 avec leur ordre de multiplicité.
III.3 - Polynôme dérivé
Définition 13 (Dérivée).
Soit P ∈ K[X]. Le polynôme dérivé , noté P 0 , est le polynôme déni par P 0 =
n
P
kak X k−1 .
k=1
On dénit successivement P (0) = P et pour tout n > 1, P (n) = (P (n−1) )0 . Pour tout n ∈ N,
le polynôme P (n) est la dérivée nème de P .
Exercice 10.
1. Montrer que pour tout polynôme P de degré n, P (n+1) = 0.
2. Pour tous i, j ∈ N, déterminer (X i )(j) .
Propriété 5.
Soient D : K[X] → K[X], P 7→ P 0 et λ ∈ K.
(i). L'application D est un morphisme de groupes et D(λP ) = λD(P ).
(ii). Im(D) = K[X].
(iii). Ker(D) = {P ∈ K[X] ; deg(P ) 6 0} = {λ, λ ∈ K}.
Propriété 6 (Dérivation & Opérations).
Soit n ∈ N.
(i). (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 .
(ii). Formule de Leibniz. (P × Q)(n) =
n
P
k=0
n
k
P (k) Q(n−k) .
(iii). (P ◦ Q)0 = Q0 × (P 0 ◦ Q).
Théorème 8 (Formule de Taylor polynomiale).
+∞
P P (k) (α) k
Soit α ∈ K. Alors, P (X + α) =
X .
k!
k=0
Corollaire 9 (Caractérisation de l’ordre d’une racine).
Soient P ∈ K[X] un polynôme non nul, α ∈ K et r ∈ N? . α est une racine d'ordre r de P si
et seulement si P (α) = P 0 (α) = · · · = P (r−1) (α) = 0 et P (r) (α) 6= 0.
Exercice 11. Soit P ∈ R[X]. Montrer que α ∈ C est racine d'ordre r de P si et seulement si α est
racine d'ordre r de P .
Stanislas
A. Camanes
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IV - Polynômes scindés
IV.1 - Dénitions
Définition 14 (Scindé).
Soit P ∈ K[X] tel que deg(P ) = n > 0. Le polynôme P est scindé sur K s'il est constant ou
n
Q
s'il existe α1 , . . . , αn ∈ K et λ ∈ K? tels que P = λ (X − αk ).
k=1
Théorème 10 (Relations coefficients / racines).
n
n
P
Q
ak X k . Alors,
Soit P = λ (X − αk ) =
k=0
k=1
λ = an
n
X
an−1
σ1 =
αk = −
,
an
k=1
σn =
n
Y
αk = (−1)n
k=1
σk =
X
a0
,
an
αj1 · · · αjk = (−1)k
16j1 <···<jk 6n
an−k
.
an
Les fonctions des racines σk sont les fonctions symétriques élémentaires des racines de P .
Exercice 12. Soient x1 , x2 , x3 les racines complexes de l'équation x3 + px + q = 0. Montrer que
x21 + x22 + x23 = σ12 − 2σ2 = −2p.
IV.2 - Théorème fondamental de l'algèbre
Théorème 11 (d’Alembert-Gauss).
Tout polynôme non nul de C[X] est scindé sur C.
Corollaire 12 (Irréductibilité dans C).
Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.
Corollaire 13 (Irréductibilité dans R).
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré
2 à discriminant strictement négatif.
Exercice 13. Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans R et dans C les polynômes
1. X 5 − X 4 − X + 1.
2. X 4 + X 3 + X 2 + X + 1.
V - Arithmétique dans K[X]
V.1 - Plus Grand Commun Diviseur, Plus Petit Commun Multiple
Notation.
Soit A ∈ K[X]. On note D(A) l'ensemble des diviseurs de A.
A et B désignent deux polynômes de K[X].
Théorème 14 (Algorithme d’Euclide).
Soient B un polynôme non nul et R le reste de la division euclidienne de A par B . Alors,
D(A) ∩ D(B) = D(B) ∩ D(R).
Exercice 14. En déduire une description de l'algorithme d'Euclide pour les polynômes.
Stanislas
A. Camanes
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Propriété 7 (pgcd, ppcm).
(i). Il existe un unique polynôme nul ou unitaire D tel que
∀ P ∈ K[X], (P |A et P |B) ⇔ P |D.
Il existe un unique polynôme M nul ou unitaire tel que que
∀ P ∈ K[X], (A|P et B|P ) ⇔ M |P.
(ii). Il existe deux polynômes U, V tels que AU + BV = D.
Le polynôme D est le plus grand commun diviseur de A et B , noté A ∧ B . Le polynôme M
est le plus petit commun multiple de A et B , noté A ∨ B .
Définition 15 (Polynômes premiers entre eux).
Les polynômes A et B sont premiers entre
eux si A ∧ B = 1.
Théorème 15 (Théorème de Bézout).
A ∧ B = 1 si et seulement s'il existe deux polynômes U, V tels que AU + BV = 1.
Exercice 15. Montrer que A et B sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'admettent pas de
racine commune dans C.
Propriétés 8.
Soit P un polynôme unitaire.
(i). (P A) ∧ (P B) = P (A ∧ B).
(ii). (P A) ∨ (P B) = P (A ∨ B).
Propriété 9.
Il existe trois polynômes A1 , B1 , D tels que
A = DA1 , B = DB1 et A1 ∧ B1 = 1.
V.2 - Théorème de Gauss
Théorème 16 (Théorème de Gauss).
Soient (A, B, C) ∈ K[X]2 tels que A divise BC et A ∧ C = 1. Alors, A divise B .
Propriété 10.
Si A ∧ B = 1, alors A ∨ B et AB sont associés.
Corollaire 17 (pgcd & ppcm).
Les polynômes A ∧ B · A ∨ B et AB sont associés.
Propriété 11.
Soient A, B, P trois polynômes. Si A ∧ B = 1, A|P et B|P , alors AB divise P .
Propriété 12.
Un produit de polynômes est premier avec A si et seulement si chacun de ses facteurs est
premier avec A.
V.3 - Décomposition en produit de facteurs irréductibles
Propriété 13.
Un polynôme P irréductible est premier avec tous les polynômes qu'il ne divise pas.
Stanislas
A. Camanes
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Théorème 18 (Décomposition en produit de facteurs irréductibles).
Tout polynôme non constant est le produit d'un scalaire par un produit de polynômes irréductibles unitaires de K[X]. De plus, cette décomposition est unique à l'ordre près des
facteurs.
Corollaire 19 (Valuation).
Notons, sous forme de produit de polynômes irréductibles unitaires distincts,
P =λ
n
Y
i=1
Aαi i et B = µ
n
Y
Aβi i .
i=1
(i). A|B ⇔ ∀ i ∈ J1, nK, αi 6 βi .
n
Q
min{αk ,βk }
Pk
.
(ii). A ∧ B =
(iii). A ∨ B =
k=1
n
Q
k=1
max{αk ,βk }
Pk
.
V.4 - Généralisation
Propriété 14 (Associativité).
Soient A, B, C trois polynômes.
(i). A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C .
(ii). A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C .
Définition 16.
Soient n un entier supérieur ou égal à 2 et A1 , . . . , An des polynômes.
pgcd des polynômes A1 , . . . , An .
(ii). A1 ∨ · · · ∨ An est le ppcm des polynômes A1 , . . . , An .
(i). A1 ∧ · · · ∧ An est le
Exercice 16.
1. En notant D = A1 ∧ · · · ∧ An , montrer que D(D) = D(A1 ) ∩ · · · ∩ D(An ).
2. En notant M = A1 ∨ · · · ∨ An , montrer que M Z = A1 K[X] ∩ · · · ∩ An K[X].
Propriété 15 (Relation de Bézout).
Soient n un entier supérieur ou égal à 2, A1 , . . . , An une famille de n polynômes et D leur
pgcd. Il existe des polynômes U1 , . . . , Un tels que
A1 U1 + · · · + An Un = D.
Définition 17 (Premiers entre eux dans leur ensemble).
Soient n un entier supérieur ou égal à 2, A1 , . . . , An une famille de n polynômes. Ces polynômes sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd vaut 1.
Exercice 17. Montrer qu'il existe une famille de polynômes premiers entre eux dans leur ensemble
mais pas premiers entre eux 2 à 2.
Théorème 20 (Théorème de Bézout).
Soient n un entier supérieur ou égal à 2, A1 , . . . , An une famille de n polynômes. Les propo-
sitions suivantes sont équivalentes.
(i). Les polynômes A1 , . . . , An sont premiers entre eux dans leur ensemble.
(ii). Il existe des polynômes U1 , . . . , Un tels que A1 U1 + · · · + An Un = 1.
Stanislas
A. Camanes
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VI - Fractions rationnelles
VI.1 - Dénitions
Définition 18 (Fractions rationnelles).
K(X) est le corps des fractions de K[X]. Ses éléments s'appellent des
Propriétés 16 (Opérations).
Soit F ∈ K(X). Il existe (P, Q) ∈ K[X] × K[X] tels que F =
représentant de F .
(i).
(ii).
P
Q
P
Q
=
+
P1
Q1
P1
Q1
si et seulement si P Q1 = QP1 .
1 +QP1
= P QQQ
.
(iii).
1
Notation.
F désigne une fraction rationnelle de représentant
P
Q
×
P1
Q1
=
P
Q.
fractions rationnelles .
Le couple (P, Q) est un
P P1
QQ1 .
P
Q.
Définition 19 (Degré).
Si F est non nulle, alors deg(P ) − deg(Q) est indépendant du représentant choisi. Cette
quantité est le degré de F . Par convention, deg(0) = −∞.
Propriété 17.
Soient F, F1 ∈ K(X), λ ∈ K? .
(i). deg(F + F1 ) 6 max{deg(F ), deg(F1 )} avec égalité si deg(F ) 6= deg(F1 ).
(ii). deg(F F1 ) = deg(F ) + deg(F1 ).
(iii). deg(λF ) = deg(F ).
(iv). deg( F1 ) = − deg(F ).
Corollaire 21 (Forme irréductible d’une fraction rationnelle).
Soit F une fraction rationnelle non nulle. Il existe un couple (P, Q) ∈ K[X]? × K[X]? tel que
P
P ∧ Q = 1 et F = Q
. Ce couple est un représentant irréductible de F .
Si (R, T ) est un autre représentant irréductible de F , alors il existe un scalaire λ tel que
R = λP et T = λQ.
VI.2 - Décomposition en éléments simples
Théorème 22 (Partie entière).
Il existe un unique couple (E, F1 ) ∈ K[X] × K(X) tel que F = E + F1 et deg(F1 ) < 0. E est
la partie entière de F .
Exercice 18. Déterminer la partie entière de la fraction rationnelle
X7
.
(X 4 −1)(X 2 +3)
Définition 20 (Pôle).
P
Soit F ∈ K(X) de forme irréductible Q
. Les racines de Q sont les
racine d'ordre k de Q, on dit que α est un pôle d'ordre k de F .
pôles de F . Si α est une
Lemme 1 (Décomposition des pôles).
Soit α un pôle d'ordre k de F . Montrer qu'il existe un unique (A, F1 ) ∈ K[X] × K(X) tel que
(i). F =
A
(X−α)k
+ F1 ,
(iii). α n'est pas un pôle de F .
(ii). deg(A) < k ,
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A. Camanes
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Exercice 19.
1. Montrer que si α est un pôle d'ordre 1 de F , alors F =
a
X−α
2. Illustrer le lemme précédent sur la fraction rationnelle F =
+ F1 , où a = [(X − α)F ]X=α .
2X 2 +1
.
(X−1)2 (X−3)
Théorème 23 (Partie polaire).
Soit F ∈ K(X) et α un pôle de F d'ordre r. Alors, F s'écrit de manière unique F =
r
P
λj
+ F1 , où (λ1 , . . . , λr ) ∈ Kr et F1 est une fraction rationnelle qui n'admet pas α
(X−α)j
j=1
comme pôle. La fraction
r
P
j=1
λj
(X−α)j
est la partie polaire de F relative au pôle α.
Théorème 24 (Décomposition en éléments simples dans C(X)).
Soit F ∈ C(X) et (αi )i∈J1,nK ∈ Cn les pôles de F d'ordres (rk )k∈J1,nK . F s'écrit de manière
rk
n P
P
λk,j
, où E est la partie entière de F et pour tout k ∈ J1, nK,
unique F = E +
(X−α )j
k=1 j=1
rk
P
j=1
λk,j
(X−αk )j
k
est la partie polaire de F relative à αk . C'est sa décomposition en éléments
simples .
Exercice 20. (Dérivée logarithmique) Montrer que si P = λ
p
Q
(X − αk )nk , alors
k=1
P0
P
=
p
P
k=1
nk
X−αk .
En pratique.
1. λi,ri =
P (αi )
Qi (αi ) ,
où Q(X) = (X − αi )ri Qi (X).
2. Si P, Q ∈ R[X], les coecients correspondant à αi et αi sont égaux.
3. Si F est paire, on obtient également des informations sur les coecients.
4. Si deg(Q) > deg(P ), on étudie la limite à l'inni de X q F (X).
5. Substituer des valeurs simples.
6. Réduire au même dénominateur et utiliser l'identication polynomiale.
Stanislas
A. Camanes
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Théorème 25 (Décomposition en éléments simples dans R(X)).
P
Soit F = Q
une fraction rationnelle à coecients réels, écrite sous forme irréductible. Notons
q
p
Q
Q
(X 2 + βk X + γk )sk la factorisation de Q en produits de polynômes
(X − αk )rk
Q=λ
k=1
k=1
irréductibles dans R[X]. Alors F s'écrit de manière unique
F =E+
p X
rk
X
k=1 j=1
q
s
k
XX
λk,j
ck,j X + dk,j
+
,
(X − αk )j
(X 2 + βk + γk )j
k=1 j=1
où E est la partie entière de F et les λk,j , ck,j , dk,j sont des réels. C'est la décomposition en
éléments simples de F dans R(X).
Exercice 21. Décomposer en éléments simples dans R(X) et C(X).
1
X5 + 1
X3
4. F4 =
.
1. F1 =
.
3.
F
=
.
3
2
X(X − 1)
X(X − 1)
(X − 1)(X + 2)
1
1
.
5. F5 = 3
2. F2 = 5
.
X −1
X −1
Stanislas
A. Camanes
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