FAMILLES LIBRES LIEES BASES Familles libres ou liées : 1 3 On considère les vecteurs u, v et w de R suivant. Montrer que les vecteurs u, v et w forment une famille liée. Ecrire dans chaque cas la relation liant les vecteurs. 1 2 3 11 F = {v1, v2, v3} avec v1 = (1 ; 3 ; - 2), v2 = (3 ; 2 ; -6), v3 = ( ; − ; − 3) 2 3 2 F = {v1, v2, v3} avec v1 = (1 ; 2 ; - 1), v2 = (1 ; 0 ; 1), v3 = (- 1 ; 2 ; - 3) 3 F = {v1, v2, v3} avec v1 = ( -1 ; 2 ; 5), v2 = (2 ; 3 ; 4), v3 = (7 ; 0 ; - 7) Etudier la liberté des familles suivantes : 1C 2C 3C 4 5 6 3 C F = {v1, v2, v1 + 2v2} avec v1 = (1 ; 1 ; 0), v2 = (2 ; 0 ; 1), v3 = (5 ; 1 ; 2) F = {v1, v2, v3} avec v1 = (1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 0 ; 1), v3 = (- 1 ; 1 ; - 1) F = {v1, v2, v3, v4} avec v1 = (1 ; 1 ; 1 ; 1), v2 = (0 ; 1 ; 0 ; 1), v3 = (2 ; 1 ; 0 ; 0) et v4 = (3 ; 1 ; 1 ; 1) F = {v1, v2} avec v1 = (1 ; 3 ; -5), v2 = (6 ; 4 ; 0) F = {v1, v2, v3} avec v1 = (1 ; 2), v2 = (3 ; 4), v3 = (5 ; 6) 17 8 F = {v1, v2, v3} avec v1 = (7 ; 12), v2 = (18 ; - 13), v3 = ( ; ) 3 5 7 F = {v1, v2, v3} avec v1 = (-1 ; 0 ; 2), v2 = (1 ; 3 ; 1), v3 = (0 ; 1 ; - 1) 8 5 9 F = {v1, v2} avec v1 = (15 ; - 27 ; - 6 ; 12), v2 = (− ; ;1; − 2) 2 2 9 F = {v1, v2, v3} avec v1 = (- 1 ; 2 ; 1 ; 4), v2 = (0 ; 3 ; - 1 ; 2), v3 = (- 2 ; 1 ; 3 ; 6) 3 Dans R , on considère les vecteurs u = (1 ; 0 ; 2), v = (-2 ; 1 ; 3) et w = (- 4 ; 3 ; 13). Démontrer que w est combinaison linéaire de u et de v. 4 C Dans R , on considère les vecteurs u1 = (1 ; 2 ; 3 ; 4), u2 = (1 ; -2 ; 3 ; 4) Montrer qu’il existe (a, b) ∈ R² tels que v = (a ; 6 ; 3 ; b) ∈ Vect(u1 ; u2) 5 C Soient u =(2 ; 1 ; 2 ; a), v = (1 ; 1 ; b ; 1) et w = (1 ; 0 ; - 1 ; 2). Selon les valeurs de a et b, déterminer si la famille (u, v, w) est libre ou liée. 6 Déterminer tous les vecteurs (x ; y ; z) de Q tels que le système {v1, v2, v3} avec v1 = (1 ; 0 ; 0), v2 = (0 ; 1 ; 1), v3 = (x ; y ; z) 3 soit libre dans R . 4 3 Familles génératrices 1 Dans R², on considère les vecteurs u = (1 ; 1) et v = (1 ; 0). Montrer que la famille (u ; v) engendre R². 2 Montrer que les vecteurs u=(2 ; 1), v = (-1 ; 2) et w = (1 ; 3) constituent un système générateur de R². Exprimer le vecteur X = (x1 ; x2) comme combinaison linéaire de ces vecteurs. Cette décomposition est-elle unique ? 3 Les vecteurs suivants forment-ils un système générateur de R 1 2 3 F = {v1, v2, v3} Avec v1 = (1 ; - 1 ; 2), v2 = (3 ; 1 ; 1), v3 = (- 3 ; -5 ; 4) F = {v1, v2, v3, v4} Avec v1 = (0 ; 1 ; 3), v2 = (-1 ; 1 ; 0), v3 = (2 ; 0 ; 1) et v4 = (4 ; 5 ; 6) Bases 1 3 Montrer que les vecteurs v1, v2 et v3 constituent une base de R . Exprimer les coordonnées du vecteur (2 ; 2 ; 3) dans cette base. 1C Avec v1 = (1 ; 0 ; 1), v2 = (-1 ; -1 ; 0), v3 = (-1 ; -1 ; 1) 2 Avec v1 = (2 ; 1 ; 0), v2 = (0 ; 2 ; 1), v3 = (2 ; 0 ; 1) 3 Avec v1 = (1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 2 ; 3), v3 = (1 ; 3 ; 6) 4 Avec v1 = (1 ; 7 ; 2), v2 = (3 ; 5 ; 9), v3 = (2 ; 4 ; 6) FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 1 01/08/2014 FAMILLES LIBRES LIEES BASES 2 3 Déterminer les coordonnées du vecteur X dans la base (v1, v2 , v3 , v4) 1 X = (1 ; 2 ; 1 ; 1) Avec v1 = (1 ; 1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 1 ; -1 ; -1), v3 = (1 ; -1 ; 1 ; -1), v4 = (1 ; - 1 ; - 1 ; 1) 2 X = (0 ; 0 ; 0 ; 1) Avec v1 = (1 ; 1 ; 0 ; 1), v2 = (2 ; 1 ; 3 ; 1), v3 = (1 ; 1 ; 0 ; 0), v4 = (0 ; 1 ; - 1 ; - 1) 4 Soient dans R les vecteurs v1 = (1 ; 1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 3 ; 2 ; 4). 1) 2) Montrer que v1 et v2 sont linéairement indépendants. 4 Compléter le système (v1 , v2) en une base de R . 4 Soient dans R les vecteurs v3 = (2 ; 1 ; 4 ; 0), v4 = (3 ; 0 ; 2 ; 3) et v5 = (2 ; 0 ; 0 ; 1). 1) 2) 3) 4 4 Montrer que (v1 , v2 , v3 , v4 , v5) est un système générateur de R . Est-il libre ? 4 Extraire de (v1 , v2 , v3 , v4 , v5) une base de R et exprimer le vecteur restant comme combinaison linéaire des vecteurs de cette base. 4 Soient dans R les vecteurs v1 = (1 ; 7 ; 2 ; 1), v2 = (3 ; 5 ; 9 ; 1) et v3 = (2 ; 4 ; 6 ; 1) 1) 2) 4 Montrer que (v1 ,v2 , v3) est un système libre de R . 4 Le compléter en une base de R . 4 Soient dans R les vecteurs, v4 = (1 ; 1 ; 3 ; 0) v5 = (0 ; 16 ; -3 ; 21) et v6 = (1 ; 5 ; 2 ; 4) 1) 2) 5 C Dans l’espace R3[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, on considère les polynômes : 3 P0(X) = 1 ; P1(X) = X – 1 ; P2(X) = (X – 1)² ; P3(X) = (X – 1) . 1) 2) 3) 4) 5) 6 4 Montrer que (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 ) est un système générateur de R . 4 En extraire une base de R . Quelle est la dimension de R3[X] ? Montrer que le système (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est libre. En déduire qu’il est une base de R3[X] Soit a0, a1 ,a2, a3 les coordonnées d’un polynôme P de R3[X] dans la base (P0 ; P1 ; P2 ; P3). Calculer les coordonnées de P’ dans cette base. Même question pour P’’ et P’’’. Exprimer les coordonnées de P dans la base (P0 ; P1 ; P2 ; P3) en fonction des valeurs de P et de ses dérivées successives au point 1. Quelle formule retrouve-t-on dans ce cas ? Dans l’espace R3[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, on considère les polynômes : 3 3 3 3 P1(X) = X – 2X² - X + 2 ; P2(X) = X – X² - 2X ; P3(X) = X – 3X² + X ; P4(X) = X – X. 1) 2) 7 C Pour chaque j tel que 1 ≤ j ≤ 4, calculer les valeurs du polynôme Pj pour X = 0 ; 1 ; - 1 ; 2. En déduire que (P1 ; P2 ; P3 ; P4 ) est une base de R3[X] et exprimer les coordonnées d’un polynôme P dans cette base au moyen des valeurs de P aux points 0, 1 , - 1, 2. Dans l’espace R2[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on considère les polynômes : P1(X) = X² ; P2(X) = (X – 1)² ; P3(X) = (X + 1)². 1) 2) 8 Montrer que (P1 ; P2 ; P3) est une base de R2[X] Déterminer dans cette base les coordonnées des polynômes Q et R définis pour tout x réel par a) Q(X) = 12 ; b) R(X) = 3X² - 10X + 1. Soit l’espace Rn[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que les familles suivantes sont des bases de Rn[X] : 1) 2) { 1 , X , X(X + 1) , X(X + 1)(X + 2) , …… , X(X + 1)(X + 2)….(X + n – 1)}. {1 , X + 1 , (X + 1)(X + 2) , …………, X(X + 1)(X + 2)………(X + n)} FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 2 01/08/2014 FAMILLES LIBRES LIEES BASES 9 C Dans l’espace R3[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, on considère les polynômes : P0(X) = 1) 2) 3) 10 C (X − 1)(X − 2)(X − 3) X(X − 2)(X − 3) X(X − 1)(X − 3) X(X − 1)(X − 2) P1(X) = ; P2(X) = ; P3(X) = ; −6 2 −2 6 Pour chaque j tel que 1 ≤ j ≤ 4, calculer les valeurs du polynôme Pj pour X = 0 ; 1 ; 2 ; 3. En déduire que (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est une base de R3[X] 3 Exprimer les coordonnées du polynôme P(X) = 1 + 2X + X² - X dans cette base. 3 Soient dans R les vecteurs v1 = (1 ; 1 ; 2m - 1), v2 = (m ; 1 ; 1) et v3 = (1 ; m ; 1) Soit S le système (v1 ,v2 , v3). 1) 2) 3) Déterminer suivant les valeurs de m le rang de S. On pose m = 0. Déduire de 1) que S est une base. Décomposer v = (4 ; 2 ; -3) dans cette base. FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 3 01/08/2014 FAMILLES LIBRES LIEES BASES CORRIGE : Familles libres ou liées : 2 Etudier la liberté des familles suivantes : 1 2 F = {v1, v2, v1 + 2v2} Avec v1 = (1 ; 1 ; 0), v2 = (2 ; 0 ; 1), v3 = (5 ; 1 ; 2) Liée par définition. F = {v1, v2, v3} Avec v1 = (1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 0 ; 1), v3 = (- 1 ; 1 ; - 1) av 1 + bv 2 + cv 3 = 0 a + b − c = 0 a = −c  ⇒ a + c = 0 ⇒  a + b − c = 0 b = 2c  avec c = 1 − v1 + 2v 2 + v 3 = 0 la famille est liée. 3 F = {v1, v2, v3, v4} Avec v1 = (1 ; 1 ; 1 ; 1), v2 = (0 ; 1 ; 0 ; 1), v3 = (2 ; 1 ; 0 ; 0) et v4 = (3 ; 1 ; 1 ; 1) av 1 + bv 2 + cv 3 + dv 4 = 0 a + 2c + 3d = 0 a + 2c + 3d = 0 a = 0 a + b + c + d = 0 a + c + d = 0 b = 0    ⇒ ⇒ ⇒ a + d = 0 a + d = 0   c = 0 a + b + d = 0 c = 0 d = 0 la famille est libre. 4 5 6 F = {v1, v2} Avec v1 = (1 ; 3 ; -5), v2 = (6 ; 4 ; 0) F = {v1, v2, v3} Avec v1 = (1 ; 2), v2 = (3 ; 4), v3 = (5 ; 6) F = {v1, v2, v3} Avec v1 = (7 ; 12), v2 = (18 ; - 13), v3 = ( 17 8 ; ) 3 5 7 3 4 F = {v1, v2, v3} Avec v1 = (-1 ; 0 ; 2), v2 = (1 ; 3 ; 1), v3 = (0 ; 1 ; - 1) 8 F = {v1, v2} 5 9 Avec v1 = (15 ; - 27 ; - 6 ; 12), v2 = (− ; ;1; − 2) 2 2 9 F = {v1, v2, v3} Avec v1 = (- 1 ; 2 ; 1 ; 4), v2 = (0 ; 3 ; - 1 ; 2), v3 = (- 2 ; 1 ; 3 ; 6) 3 Dans R , on considère les vecteurs u = (1 ; 0 ; 2), v = (-2 ; 1 ; 3) et w = (- 4 ; 3 ; 13). Démontrer que w est combinaison linéaire de u et de v. a − 2b = −4 b = 3 a = 2    w = au + bv ⇒ b = 3 ⇒ a − 6 = −4 ⇒ b = 3 2a + 3b = 13 2a + 3b = 13 2a + 3b = 2x2 + 3x 3 = 4 + 9 = 13    donc w = 2u + 3v 4 Dans R , on considère les vecteurs u1 = (1 ; 2 ; 3 ; 4), u2 = (1 ; -2 ; 3 ; 4) Montrer qu’il existe (a, b) ∈ R² tels que v = (a ; 6 ; 3 ; b) ∈ Vect(u1 ; u2) a = λ + µ a = 1 6 = 2λ − 3µ b = 12   v = λu1 + µu2 ⇒  ⇒ 3 = 3 λ + 3 µ  λ = 2 b = 4λ − 4µ µ = −1 donc v = 2u1 − u2 avec v = (1 ; 6 ; 3 ;12) FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 4 01/08/2014 FAMILLES LIBRES LIEES BASES 5 Soient u =(2 ; 1 ; 2 ; a), v = (1 ; 1 ; b ; 1) et w = (1 ; 0 ; - 1 ; 2). Selon les valeurs de a et b, déterminer si la famille (u, v, w) est libre ou liée. 2 = α + β α = 1 a = 3 1 = a β = 1 b = 3    u = αv + β w ⇒  ⇒ ⇒ 2 = b α − β 2 = b − 1   α = 1 a = α + 2β a = 1 + 2 β = 1 donc u = v + w avec u = (2 ;1 ;2 ; 3) et v = (1 ;1 ; 3 ;1) Bases 1 3 Montrer que les vecteurs v1, v2 et v3 constituent une base de R Exprimer les coordonnées du vecteur (2 ; 2 ; 3) dans cette base. 1 Avec v1 = (1 ; 0 ; 1), v2 = (-1 ; -1 ; 0), v3 = (-1 ; -1 ; 1) a − b − c = 0 a = 0   av 1 + bv 2 + cv 3 = 0 ⇒ − b − c = 0 ⇒ b = 0 a + c = 0 c = 0   la famille est libre dans un espace de dim ension 3. C' est donc une base. av 1 + bv 2 + cv 3 = (2 ;2 ; 3) a − b − c = 2 a = 0   ⇒ − b − c = 2 ⇒ b = −5 a + c = 3 c = 3   Donc v = −5v 2 + 3v 3 2 5 2 Avec v1 = (2 ; 1 ; 0), v2 = (0 ; 2 ; 1), v3 = (2 ; 0 ; 1) 3 Avec v1 = (1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 2 ; 3), v3 = (1 ; 3 ; 6) 4 Avec v1 = (1 ; 7 ; 2), v2 = (3 ; 5 ; 9), v3 = (2 ; 4 ; 6) Déterminer les coordonnées du vecteur X dans la base (v1, v2 , v3 , v4) 1 X = (1 ; 2 ; 1 ; 1) Avec v1 = (1 ; 1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 1 ; -1 ; -1), v3 = (1 ; -1 ; 1 ; -1), v4 = (1 ; - 1 ; - 1 ; 1) 2 X = (0 ; 0 ; 0 ; 1) Avec v1 = (1 ; 1 ; 0 ; 1), v2 = (2 ; 1 ; 3 ; 1), v3 = (1 ; 1 ; 0 ; 0), v4 = (0 ; 1 ; - 1 ; - 1) Dans l’espace R3[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, on considère les polynômes : 3 P0(X) = 1 ; P1(X) = X – 1 ; P2(X) = (X – 1)² ; P3(X) = (X – 1) . 1) 2) Quelle est la dimension de R3[X] ? dim(R3[X]) = 4. Montrer que le système (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est libre. En déduire qu’il est une base de R3[X] aP0 + bP1 + cP2 + dP3 = 0 ⇒ a + b(X − 1) + c(X − 1)² + d(X − 1)3 = 0 ⇒ a + b(X − 1) + c(X² − 2X + 1) + d(X 3 − 3X² + 3X − 1) = 0 d = 0 a = 0 − 3d + c = 0 b = 0   ⇒ ⇒ b − 2 c + 3 d = 0  c = 0 a − b + c − d = 0 d = 0 3) 4) 5) Le système (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est libre et de rang 4 dans un sev de dimension 4 ; donc (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est une base de R3[X]. Soit a0, a1 ,a2, a3 les coordonnées d’un polynôme P de R3[X] dans la base (P0 ; P1 ; P2 ; P3). Calculer les coordonnées de P’ dans cette base. Même question pour P’’ et P’’’. Exprimer les coordonnées de P dans la base (P0 ; P1 ; P2 ; P3) en fonction des valeurs de P et de ses dérivées successives au point 1. Quelle formule retrouve-t-on dans ce cas ? FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 5 01/08/2014 FAMILLES LIBRES LIEES BASES 7 C Dans l’espace R2[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on considère les polynômes : P1(X) = X² ; P2(X) = (X – 1)² ; P3(X) = (X + 1)². 1) Montrer que (P1 ; P2 ; P3) est une base de R2[X] aP1 + bP2 + cP3 = 0 ⇒ aX ² + b(X − 1)² + c(X + 1)2 = 0 ⇒ aX ² + b(X² − 2X + 1) + c(X ² + 2X + 1) = 0 a + b + c = 0 a = 0   ⇒ − 2b + 2c = 0 ⇒ b = 0 b + c = 0 c = 0   Le système (P1 ; P2 ; P3) est libre et de rang 3 dans un sev de dimension 3 ; donc (P1 ; P2 ; P3) est une base de R2[X]. 2) 8 Soit l’espace Rn[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que les familles suivantes sont des bases de Rn[X] : 1) 2) 9 C Déterminer dans cette base les coordonnées des polynômes Q et R définis pour tout x réel par c) Q(X) = 12 : Q(X) = - 12P1(X) + 6P2(X) + 6P3(X). d) R(X) = 3X² - 10X + 1 : R(X) = 2P1(X) + 3P2(X) - 2P3(X). { 1 , X , X(X + 1) , X(X + 1)(X + 2) , …… , X(X + 1)(X + 2)….(X + n – 1)}. {1 , X + 1 , (X + 1)(X + 2) , …………, X(X + 1)(X + 2)………(X + n)} Dans l’espace R3[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, on considère les polynômes : P0(X) = 1) 2) (X − 1)(X − 2)(X − 3) X(X − 2)(X − 3) X(X − 1)(X − 3) X(X − 1)(X − 2) P1(X) = ; P2(X) = ; P3(X) = ; −6 2 −2 6 Pour chaque j tel que 1 ≤ j ≤ 4, calculer les valeurs du polynôme Pj pour X = 0 ; 1 ; 2 ; 3. P0(0) = 1 et P1(0) = P2(0) = P3(0) = 0 P1(1) = 1 et P0(1) = P2(1) = P3(1) = 0 P2(2) = 1 et P0(2) = P1(2) = P3(2) = 0 P3(3) = 1 et P0(3) = P1(3) = P2(3) = 0 En déduire que (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est une base de R3[X] On montrer que (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est libre. aP0 + bP1 + cP2 + dP3 = 0 pour tout X Pour X = 0 : a = 0 Pour X = 1 : b = 0 Pour X = 2 : c = 0 Pour X = 3 : d = 0 a = 0 b = 0  donc  c = 0 d = 0 3) La famille (P0 ; P1 ; P2 ; P3) est une famille libre de 4 éléments dans un espace de dimension 4. C’est donc une base de R3.[X] 3 Exprimer les coordonnées du polynôme P(X) = 1 + 2X + X² - X dans cette base. 4 On cherche (a, b, c, d) de R tel que aP0 (X) + bP1 (X) + cP2 (X) + dP3 (X) = 1 + 2X + X² − X 3 Pour X = 0 : a = 1 Pour X = 1 : b = 1 + 2 + 1 − 1 = 3 Pour X = 2 : c = 1 + 4 + 4 − 8 = 1 P0 (X) + 3P1 (X) + P2 (X) − 11P3 (X) = 1 + 2X + X ² − X 3 Pour X = 3 : d = 1 + 6 + 9 − 27 = −11 10 Soient dans R3 les vecteurs v1 = (1 ; 1 ; 2m - 1), v2 = (m ; 1 ; 1) et v3 = (1 ; m ; 1) FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 6 01/08/2014 FAMILLES LIBRES LIEES BASES C Soit S le système (v1 ,v2 , v3). 1) Déterminer suivant les valeurs de m le rang de S. av 1 + bv 2 + cv 3 = 0 a + mb + c = 0  ⇒ a + b + mc = 0 (2m − 1)a + b + c = 0  a + mb + c = 0  L 2 ← L2 − L1 ⇒ (1 − m)b + (m − 1)c = 0 (m − 1)(−2m − 1)b + 2(1 − m)c = 0 L ← L − (2m − 1)L 3 3 1  si m ≠ 1 a + mb + c = 0 a + mb + c = 0   ⇒ b = c ⇒ b = c (−2m − 1)b − 2c = 0 (−2m − 3)b = 0   3 2 a + mb + c = 0 a = 0   ⇒ b = c ⇒ b = 0 ⇒ (v 1 ; v 2 ; v 3 ) est libre b = 0 c = 0   Cas m = 1 : v1 = (1 ; 1 ; 1), v2 = (1 ; 1 ; 1) et v3 = (1 ; 1 ; 1) : la famille est de rang 1. 3 Cas m = − 2 v1 = (1 ; − 1 ; − 4) v1 = (1 ; − 1 ; − 4) 3 v2 = (− ;1 ;1) − 2v 2 = (3 ; − 2 ; − 2) 2 − 2v 3 = (−2 ; 3; − 2) 3 v 3 = (1 ; − ;1) 2 On a donc v1 = -2v2 – 2v3. La famille est de rang 2. On pose m = 0. Déduire de 1) que S est une base. Si m = 0 alors : v1 = (1 ; 1 ; -1), v2 = (0 ; 1 ; 1) et v3 = (1 ; 0 ; 1) 3 La famille est de rang 3 dans un espace vectoriel de dimension 3 ; donc S est une base de R . Décomposer v = (4 ; 2 ; -3) dans cette base. av 1 + bv 2 + cv 3 = (4 ;2 ; − 3) si m ≠ − 2) 3) a + b − c = 4 a = −2   ⇒ b + c = 2 ⇒ b = 3 a − b = −3 c = −1   Donc v = −2v1 + 3v 2 − v 3 FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 7 01/08/2014