Feuille d`exercices 14

Feuille d’exercices 14
ECS1 – février 2015
Exercice 1
Donner la nature des séries suivantes :
X
X 3n4 − 2n3 + 7
1
3.
p
1.
6 + 2n
n(n + 1)
X
p
4.
ne− n

X1
X
π
1
2.
sin p
5.
ln 1 −
n
n
n+1
X 1 p
n
p ( 2 − 1)
n

X
1
7.
ln cos
2n
X
1
8.
p
n ln n
6.
X 1
p
sin π n
2
n
X pn
10.
ln n
9.
Exercice 2
Montrer que les séries suivantes sont convergentes et calculer leur somme :

X
X 2n + 1
X
X n(n − 1) × 2n
1
1
7.
1.
.
ln 1 − 2
5.
3.
n!
n(n + 1)
n
n!
X n−1
X n2 × 2 n
X
2.
4.
ne−n
6.
4n
n!
Exercice 3 Séries de Mengoli
1
(n ¾ 1).
n(n + 1)(n + 2)
On considère la série de terme général un =
1. Donner la nature de cette série.
2. Montrer que pour tout entier naturel n ∈ N∗ un =
réels que l’on déterminera.
a
b
c
+
+
où a, b, et c sont des
n n+1 n+2
3. En déduire la somme de la série de terme général un (par téléscopage).

1
1
1
4. Montrer que un =
−
. Retrouver la somme de la série de Men2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
goli en utilisant cette égalité.
5. Généraliser le résultat précédent en montrant que pour tout entier k fixé la série de terme
1
général
est convergente et calculer sa somme.
n(n + 1) . . . (n + k)
Exercice 4
1. Montrer que pour tout entier k ¾ 3,
∀t ∈ [k, k + 1],
1
1
¶
t ln t
k ln k
Z
et
k+1
2. En déduire que pour tout entier k ¾ 3,
Z
k
n+1
3. Montrer que pour tout entier n ¾ 2,
3
1
∀t ∈ [k − 1, k],
1
1
¶
.
k ln k
t ln t
Zk
dt
1
dt
¶
¶
.
t ln t
k ln k
t ln t
k−1
Zn
n
X
dt
1
1
dt
¶
¶
+
.
t ln t
k
ln
k
2
ln
2
t
ln
t
2
k=2
4. Déterminer une primitive de
précédentes.
1
(directement). En déduire les valeurs des intégrales
t ln t
5. Conclure quant à la nature de la série
X
1
.
n ln n
Exercice 5
π 1
cos x
Pour tout n ∈ N, on pose un = n tan n+2 . Pour x 6∈ πZ, on pose cotan x =
.
2
2
sin x
X
1. Montrer que la série
un est convergente.
2. Montrer en utilisant les formules de trigonométrie que

kπ (k + 1)π
∀x ∈
;
, tan x = cotan x − 2 cotan(2x)
2
2
3. En déduire la somme de la série de terme général un . (Penser aux séries téléscopiques.)
Exercice 6
Dans cet exercice penser plusieurs fois aux séries téléscopiques !
Soit (un )n∈N la suite définie par la donnée de u0 ∈]0, 1[ et la relation de récurrence
∀n ∈ N, un+1 = un − u2n .
1. Démontrez que la suite u est décroissante et convergente vers 0.
X
2. Prouvez la convergence de la série
u2n et calculez sa somme.
un+1
est divergente.
3. Prouver que la série ln
un
X
un+1
4. En remarquant que ln(1 − un ) = ln
, en déduire la nature de la série
un .
un
Exercice 7
Donner la nature des séries suivantes :
X k+1
X k + cos k
1.
.
5.
.
k!
ek + sin k
X
1
X 1 k
2.
cos 2 .
6.
.
2k

ln(2k)
X1
1
X
1/k2
3.
− 2
.
k
(e
+
1)
−
1
.
7.
k k +1
X1
X
π
4.
sin .
8.
ln(3k + 2) − ln(3k )
k
2k
9.
10.
11.
X 1 p
n
p ( 2 − 1)
n
X 1 − n n
2n
X nln n
.
(ln n)n
Exercice 8
(−1)k
1
Soit uk = p et vk = + uk .
k
k
1. En s’inspirant de la méthode du cours qui a permis de montrer que la série
X
convergente, montrer que
uk converge.
2. Montrer que uk ∼ vk .
3. Quelle est la nature de la série
X
vk ?
2
X (−1)k
k
était

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