Analyse fonctionnelle. Devoir à la maison I Préliminaires - I2M

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Master Mathématiques et Applications 1e`re année
Aix-Marseille Université
Année 2014-2015
Analyse fonctionnelle. Devoir à la maison
A rendre au plus tard le : 22 Octobre 2014
Dans tout le problème, on se donne un espace métrique (E, d) et on introduit l’ensemble K de parties de E
défini par
K = A ⊂ E, tel que A est un compact non vide de (E, d) .
I
Préliminaires - Rappels
Pour toute partie A ⊂ E et tout point x ∈ E, on définit
d(x, A) = inf d(x, y).
y∈A
1. Démontrer que, pour tout A ⊂ E, la fonction x ∈ E 7→ d(x, A) ∈ R est lipschitzienne (R étant muni de
sa distance usuelle). En déduire que cette fonction est continue.
2. Démontrer que
∀x ∈ E, ∀A ⊂ E, on a d(x, A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A.
Structure métrique sur K
II
Pour tous éléments A, B ∈ K, on définit
δ(A, B) = max
sup d(x, B) , sup d(x, A)
x∈A
.
x∈B
1. Démontrer que l’application δ est une distance sur K.
2. Montrer que si A, B ∈ K avec A ⊂ B, on a δ(A, B) = supx∈B d(x, A).
3. Soit ε > 0 quelconque et A, B ∈ K. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes
(a) δ(A, B) < ε.
(b) Pour tout x ∈ A, il existe x0 ∈ B tel que d(x, x0 ) < ε et pour tout y ∈ B, il existe y 0 ∈ A tel que
d(y, y 0 ) < ε.
III
Un exemple simple
Dans cette question on se place dans le cas où (E, d) est l’ensemble R muni de sa métrique usuelle.
1. On se donne quatre réels a < b et α < β. Calculer δ([a, b], [α, β]). On pourra considérer différents cas et
illustrer les calculs par des dessins.
2. Déterminer la limite dans (K, δ) des suites (An )n et (Bn )n définies par :
1
k
1
,
, Bn =
, 0≤k≤n .
An =
n+1 n
n
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IV
Complétude de (K, δ)
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant : pour tout A ⊂ E, on a
A est compact ⇐⇒ Pour tout ε > 0 on peut recouvrir A par un nombre fini de boules de rayon ε.
On revient au cas général et on suppose que (E, d) est complet. On souhaite montrer que (K, δ) est également complet. Soit donc (An )n une suite de Cauchy dans (K, δ) et montrons que celle-ci est convergente.
S
1. On veut montrer dans cette question que n≥0 An est compact dans (E,
S d). D’après le résultat rappelé
ci-dessus, il suffit de montrer que, pour tout ε > 0 on peut recouvrir n≥0 An par un nombre fini de
boules ouvertes de (E, d) de rayon ε.
(a) Montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que ∀n > n0 , δ(An0 , An ) < 2ε .
S 0
An est un compact de (E, d). En déduire qu’il existe un nombre fini de points
(b) Montrer que nn=0
x1 , . . . , xN ∈ E tels que
n0
N
ε
[
[
An ⊂
B xi ,
.
2
n=0
i=1
(c) En utilisant la question (a), et la question 3 de la partie II, montrer que
∀n > n0 , An ⊂
N
[
B (xi , ε) .
i=1
(d) Conclure.
2. Déduire de la question précédente que, pour tout k ≥ 0, l’ensemble
[
An ,
Bk =
n≥k
est un élément de K.
3. Montrer que pour tout k ≥ 0, on a
δ(Ak , Bk ) ≤ sup δ(Ak , An ) .
n≥k
En déduire que limk→∞ δ(Ak , Bk ) = 0.
4. Montrer que pour tout k ≥ 0, on a Bk+1 ⊂ Bk . En déduire que l’ensemble
\
e=
B
Bk ,
k≥0
est aussi un élément de K. (Ne pas oublier de montrer qu’il est non vide !)
e = supx∈B d(x, B).
e
5. (a) Justifier que δ(Bk , B)
k
e k est décroissante et donc convergente.
(b) En déduire que la suite de nombres positifs (δ(Bk , B))
k→∞
e −
(c) On va établir que que δ(Bk , B)
−−→ 0 en raisonnant par l’absurde. On suppose donc que
e
δ(Bk , B) tend vers un nombre strictement positif.
i. Montrer qu’il existe une suite (xk )k vérifiant
∀k ≥ 1, xk ∈ Bk ,
e > 0.
lim d(xk , B)
k→∞
e
ii. Montrer que (xk )k admet une sous-suite convergente et que sa limite x
˜ est dans B.
iii. Conclure.
k→∞
e −
6. Montrer finalement, à partir des résultats des questions 3 et 5 que δ(Ak , B)
−−→ 0, et conclure.
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