Prévisions d`ouvertures

MPSI3 2013–2014 DM No 10
Vendredi 17/01/2014
Exercice 1
!
x
+
1
On pose f (x) = (x 2 − 1) ln
.
x−1
Q1) a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 1, préciser. Dans la suite on étudie la
fonction prolongée.
c) Montrer que l’on peut réduire l’étude de f à l’intervalle [1, +∞[.
d) Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur [1; +∞[.
Q2) a) Déterminer une fonction h telle que ∀x > 1, f 0 (x) = 2xh(x).
b) Étudier la fonction h, en déduire son signe.
c) En déduire le tableau (complet) des variations de f sur [1; +∞[.
Q3) a) Montrer que f (x) ∼ 2x.
+∞
b) Calculer lim f (x) − 2x. Que peut-on en conclure ?
x→+∞
Q4) Soit g(x) = f (x) − 2x pour x > 1.
a) Calculer g0 (x) et g00 (x).
u(u + 2)
, en déduire que g00 (x) 6 0 (prendre u =
2(u + 1)
c) Calculer lim f 0 (x). En déduire le signe de g0 (x).
b) Montrer que pour u > 0, ln(1 + u) 6
2
x−1 ).
x→+∞
d) Quel est le signe de g(x) sur [1; +∞[ ?
e) Donner l’allure de la courbe représentative de f .
Exercice 2
1
Soit f : R → R la fonction définie par f (x) =
.
2
1
+
x
+
x
"
#
1
1
2iπ
−
Q1) Montrer qu’il existe un complexe a tel que ∀ x ∈ R, f (x) = a
(avec j = e 3 ).
x−j x−j
"
#
1
1
(n)
n
Q2) En déduire que pour n ∈ N et x ∈ R, f (x) = a(−1) n!
−
.
(x − j) n+1 (x − j) n+1
Pn (x)
Q3) a) Pour n ∈ N, montrer qu’il existe un polynôme Pn tel que f (n) (x) = (−1) n n!
.
(1 + x + x 2 ) n+1
b) Calculer P0 , P1 et P2 .
Q4) Vérifier que ∀x ∈ R, et ∀n ∈ N, on a :
Pn+2 (x) = (2x + 1)Pn+1 (x) −
x2 + x + 1 0
Pn+1 (x) = (2x + 1)Pn+1 (x) − (x 2 + x + 1)Pn (x)
n+2
Q5) a) Montrer que Pn est à coefficients entiers.
b) Déterminer le degré de Pn et son coefficient dominant.
Q6) Calculer les racines de Pn dans C. Vérifier que celles-ci sont réelles.

Download Report