DM n°11

MPSI3 2013–2014 DM No 11
Vendredi 24/01/2014
Exercice 1
Soit f la fonction définie par f (x) = arcsin2 (x).
Q1) a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Étudier la continuité de f .
c) Étudier la dérivabilité de f sur ] − 1; 1[. Calculer f 0 (x) lorsque ce nombre existe.
d) Montrer que f n’est pas dérivable en −1 ni en 1.
Q2) a) Étudier les variations de f .
b) Donner l’allure de la courbe.
c) Justifier l’existence d’un développement limité d’ordre n en 0 pour f (x). Calculer le dl4 (0).
Q3) Dans cette question on propose une autre méthode de calcul du dl4 (0) de f (x).
a) Calculer f 00 (x). En déduire que (1 − x 2 ) f 00 (x) = 2 + x f 0 (x) (E).
b) On pose f 00 (x) = a + bx + cx 2 + o x 2 . Comment s’écrit le dl3 (0) de f 0 (x) ?
0
c) En reportant dans l’équation (E), et en expliquant la méthode, calculer les coefficients a, b et c.
Retrouver ainsi le dl4 (0) de f (x).
Q4) Dans cette question on généralise le procédé de la question précédente :
n
X
00
n
a) On pose f (x) = P(x) + o (x ) avec P(x) =
a k x k . Comment s’écrit le dln+1 (0) de f 0 (x) ?
0
k=0
b) En reportant dans la relation (E), établir la relation a k+2 =
k+2
k+1 a k
pour k > 0.
c) En déduire l’expression générale de a k (distinguer k pair et k impair).
d) Donner le dl2n (0) de f (x).
Exercice 2
Q1) On pose f (x) =
sin(x) − x cos(x)
.
ln(cos(x))
a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
b) Calculer soigneusement un développement limité d’ordre 3 de f en 0.
c) En déduire que :
i) f admet un prolongement par continuité en 0, en le note encore f ,
ii) ce prolongement est dérivable en 0. Préciser alors l’équation de la tangente à la courbe au
point d’abscisse 0, ainsi que la position courbe-tangente au voisinage de 0.
√
Q2) On pose g(x) = e1/x x 2 + x + 1.
a) Montrer que la courbe de g admet une asymptote en +∞, préciser son équation.
b) Étudier la position courbe-asymptote au voisinage de +∞.

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