Devoir à la Maison no 6 ÉCS2 Exercice 1. Exercice 2. Un calcul de Gamma de 1/2. On définit la fonction f sur R par : π/4 ∀x ∈ R, e−x/ cos f (x) = 2 (t) 0, 0 f (x) dt. π −x e . 4 b) En déduire lim f (x). x→+∞ 2.a) Établir, à l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, que pour tout u de R, u2 |u| eu − 1 − u e . 2 b) Montrer que : 1. 2. 3. Partie I. Donner la loi de X1 , la loi de X2 et leurs espérances. Déterminer la loi de X3 et calculer E(X3 ). Déterminer la loi de X4 et calculer E(X4 ). 1. 2. Partie II. On étudie désormais le cas général. Calculer P(Xn = 1) et P(Xn = n). Soit N1 , la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée. 2 π/4 ∀(x, h) ∈ R2 , e−x/ cos (t) dt cos2 (t) f (x + h) − f (x) + h 0 2.h2 .e2|h| .f (x). a) Reconnaître la loi de N1 . c) En déduire que f est dérivable sur R et que : π/4 ∀x ∈ R, f (x) = − 0 3. x 2 π/4 2 0 On pose, pour x dans R, g(x) = f (x ). a) Justifier que g est dérivable sur R. 1 = 1 + tan2 t. cos2 (t) x 2 x 5. c) Montrer que : ∀k ∈ [[2 ; n]] , P(Xn = k) = 2 2 e−t dt On pose h(x) = g(x) + 0 a) Etablir que : ∀n 2 pour tout x de R. 1 n n−1 P(Xi = k − 1). i=k−1 2, vn+1 = vn + n. b) En déduire P(Xn = n − 1). 0 π a) Montrer que h est constante sur R, égale à . 4 √ +∞ π −t2 b) En déduire que e dt existe et vaut . 2 0 1 c) En déduire Γ à l’aide d’un changement de variable. 2 Lycée Henri Poincaré k−1 . k On pourra admettre les résultats (b) et (c) pour résoudre les questions suivantes. 3. Calculer P(Xn = 2). On donnera la réponse sous la forme d’une somme. 4. Pour n 2, on pose : vn = n!P(Xn = n − 1). e−u du. Montrer que, pour tout x de R, g (x) = −2e−x si i si i 2 2 b) On rappelle que, pour tout t de [ 0 ; π/4 ], 0 P(Xi−1 = k − 1) ∀i ∈ [[2 ; n]] , ∀k ∈ [[2 ; n]] , P[N1 =i] (Xn = k) = e−x tan (t) dt. cos2 (t) e−u du = x 0 4. b) Vérifier que : 2 e−x/ cos (t) dt. cos2 (t) À l’aide du changement de variable u = x tan t, montrer que : ∀x ∈ R, Urnes rétrécissantes Soit n un entier naturel non nul. Une urne Un contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule, en appliquant la règle suivante : si une boule tirée porte le numéro k, avant de procéder au tirage suivant, on enlève de l’urne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal à k. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l’urne Un de toutes ses boules. 0 1.a) Montrer que : ∀x ☞ 25/11/2014 1. Partie III. Montrer que : ∀n 2. Montrer que : ∀n 3. Montrer enfin que : ∀n 2, ∀i ∈ [[2 ; n]] , E(Xn |N1 = i) = E(Xi−1 ) + 1. n−1 1 E(Xi ) + 1. 2, E(Xn ) = n i=1 n 1, E(Xn ) = k=1 1/1 1 . k ●❏