Lycée Buffon
MPSI 2014-15
Devoir numéro 4, à rendre lundi 13 octobre 2014
Exercice 1 Résoudre dans R5 , en appliquant strictement la méthode du pivot sans interver-
sion intempestive de lignes ou de colonnes, ni de multiplication ou division de lignes par des
constantes et en spécifiant à chaque fois les opérations élémentaires effectuées, le système suivant :
x +2y −2z +3t −w = 2
2x +4y −3z −t +w = 5
−5x −10y +8z +t −2w = 12
2x +4y −3z −3t +2w = −19
Exercice 2 Soient a et b dans R.
1. Exprimer à l’aide de la fonction exponentielle ch a · ch b, sh a · sh b, sh a · ch b et ch a · sh b,
puis en déduire des expressions de ch (a + b) et sh (a + b) en fonction de ch a, sh a, ch b et sh b.
2. En déduire une expression de th (a + b) en fonction uniquement de th (a) et th (b).
r
x−1
.
Exercice 3 On considère la fonction g : x 7−→
x+1
1. Étudier la définition et la dérivabilité de g.
2. Calculer la dérivée de g et déterminer ses variations.
g(x) − g(1)
3. Quelle est la limite de
lorsque x tend vers 1 par valeurs strictement supérieures ?
x−1
Comment interprétez-vous cela graphiquement ?
4. Faire l’étude des branches infinies et tracer l’allure du graphe de g.
Exercice 4 Fonction réciproque de th .
1. Montrer que la fonction th admet une fonction réciproque dérivable, qu’on notera Argth et
dont on précisera l’ensemble de définition DArgth .
1
2. Montrer que pour tout x ∈ DArgth , Argth 0 (x) =
. Retrouver ainsi les variations de
1 − x2
Argth et donner ses limites aux bornes de DArgth .
3. Trouver deux réels a et b tels que, pour tout x ∈ R \ {−1, 1},
a
1
b
=
+
.
2
1−x
x+1 x−1
4. On rappelle qu’une primitive d’une fonction f est une fonction F dérivable telle que F 0 = f .
1
1
Trouver une primitive de x 7−→
et une primitive de x 7−→
.
x+1
x−1
5. En déduire une expression de Argth à l’aide de la fonction ln.
Exercice 5 Pour n ∈ N, calculer
∑
min(i, j) et en déduire l’égalité avec une somme connue
1≤i, j≤n
(on pourra découper la somme en deux sommes triangulaires).
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