Lycée Sainte-Marie d’Antony Colle de Mathématiques n°2 - Section MP - M. Legrand Lundi 22 septembre 2014 Dans l’idéal, chaque élève devra répondre à une question avec rapidité et autonomie, et travailler sur au moins un exercice. Question 1 Soient P et Q deux polynômes. Montrer que a est une racine commune à P et Q si et seulement c’est une racine de leur pgcd. Question 2 Soient a, b, c, d ∈ N. On définit P = X 4a+3 + X 4b+2 + X 4c+1 + X 4d Q = X3 + X2 + X + 1 Montrer que P est divisible par Q. Question 3 Montrer que P = n P Xk k=0 k! n’admet pas de racine multiple. Exercice 1 : Une place pour chaque chose et chaque chose à sa place Montrer qu’un espace vectoriel sur un corps de cardinal strictement supérieur à k ne peut pas être la réunion de k sous-espaces vectoriels stricts. Exercice 2 : Freedom forever Étudier la liberté des familles suivantes dans le R-ev C(R, R) : — (fλ : x 7→ eλx )λ∈R — (fλ : x 7→ cos(λx))λ∈R+ — (fλ : x 7→ |x − λ|)λ∈R Exercice 3 : Un supplémentaire idéal Montrer que deux sev de même dimension d’un espace vectoriel de dimension finie admettent un supplémentaire commun. Exercice 4 : La puissance du pgcd Soient p, q ∈ N∗ . Montrer que pgcd(X p − 1, X q − 1) = X pgcd(p,q) − 1. Retrouvez ces feuilles d’exercices et des éléments de correction sur : http://maximelegrand.fr
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