Année Scolaire 2013–2014 MATHÉMATIQUES MPSI1,2,3 DS N˚6 Samedi 01/02/2014 (4h) Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés . Les trois problèmes doivent être rédigés sur des copies séparées. La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits. Problème 1 : dénumérants Dans tout le problème, pour x réel, on désigne par bxc la partie entière de x. Partie I – Un exemple Dans cette partie on cherche à résoudre l’équation (E) : 2x + 5y = 2009 avec (x, y) ∈ N2 . Q1) Trouver un couple de solutions (x 0 , y0 ) ∈ N2 .   x = x 0 + 5k Q2) Montrer qu’un couple (x, y) ∈ Z2 vérifie (E) si et seulement si il existe k ∈ Z tel que   y = y − 2k . 0  Q3) En déduire le nombre de solutions de (E) dans N2 . Partie II – Une presque - formule Dorénavant, a et b désignent deux entiers naturels non nuls. On note pour n ∈ N, Dn le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que ax + by = n. Q4) Calculer D0 . Q5) Déterminer Dn lorsque a ∧ b ne divise pas n. Q6) On suppose dorénavant a ∧ b = 1. a) Montrer qu’il existe (X,Y ) ∈ N2 tel que aX − bY = 1. b) Montrer que Dn est le nombre d’entiers ` ∈ Z tels que nY a 6`≤ nX b . c) Soient x et y des réels, montrer que bxc + byc = bx + yc − ε avec ε = 0 ou 1. (h i h i ) n n d) En déduire que Dn ∈ ab ; ab + 1 . Vérifier votre réponse à la question Q3). Partie III – La formule de Popoviciu Désormais, a > b > 2 désignent deux entiers premiers entre eux. On note encore pour n ∈ N, Dn le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que ax + by = n. 1 Q7) À l’aide du théorème de Bézout, montrer qu’il existe deux entiers α ∈ J1; b − 1K et β ∈ J1; a − 1K tels que :   αa ≡ 1   βb ≡ 1  (mod b) (mod a) Démontrer que α et β sont uniques. Q8) On note γ l’entier tel que αa = 1 − γb. Montrer que γ ∈ J1 − a; −1K. Q9) En déduire que αa − (a − β)b = 1. Q10) Conclure que : αn n Dn = +1− − ab b ( βn a ) (formule de Popoviciu) où {u} = u − buc désigne la partie fractionnaire d’un réel u, c’est à dire la différence entre le réel u et sa partie entière buc. Q11) a) Montrer que ( αn b ) = r b où r est le reste de la division de αn par b. Que dire de ( βn ) a ? b) Application numérique : de combien de façons peut obtenir la somme de 1777 euros avec des pièces de 2 et des billets de 5 ? On commencera par déterminer α et β. P n 2k × Pn 5p ? c) Quel est le coefficient de X n dans le polynôme X X p=0 k=0 Problème 2 : Des triangles équilatéraux sur une hyperbole Partie I – Préliminaires Les questions 1 et 2 sont indépendantes, et leurs résultats sont utilisés dans la partie II. Soient A, B, C trois points du plan d’affixes respectifs a, b, c. Q1) On rappelle que le centre de gravité du triangle ABC est le point G défini par la relation : − −−→ −−→ −−→ → G A + GB + GC = 0 . Montrer que G a pour affixe a+b+c 3 . Q2) Soient A, B, C trois points du plan d’affixes respectifs a, b, c. 2π a) On note j = ei 3 . Justifier les formules j 3 = 1 et 1 + j + j 2 = 0. b) Montrer que C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle + π3 si, et seulement si, a + jb + j 2 c = 0. c) En déduire que le triangle ABC est équilatéral si, et seulement si a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc. −−→ −−→ (Rappel : ABC équilatéral si et seulement si, AB = AC et ( AB, AC) = ± π3 [mod 2π].) Partie II Soient r un réel non nul et P le polynôme défini par P = X 3 − 3r X 2 − 3 X r2 + r1 . Q3) On suppose dans cette question que r > 0. a) Préciser les signes de P(0) et de P(r). b) Calculer lim P(x) et lim P(x). x→+∞ x→−∞ En déduire qu’il existe un réel u > r tel que P(u) > 0, et un réel v < 0 tel que P(v) < 0. c) Conclure que les racines de P sont trois nombres réels distincts deux à deux et non nuls. 2 Q4) On suppose dans cette question que r < 0. En vous inspirant de la démarche précédente, montrer que les racines de P sont toujours trois nombres réels distincts deux à deux et non nuls. Q5) Dans le cas général r , 0, on note x 1 , x 2 , x 3 les trois racines du polynôme P. a) Calculer en fonction de r les valeurs de x 1 + x 2 + x 3 , de x 1 x 2 x 3 , et de x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 . b) En déduire, toujours en fonction de r, les valeurs de : i) 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 , ii) x 21 + x 22 + x 23 , iii) 1 x1 x2 iv) 1 x 12 x1 x2 v) + + + 1 x 22 x2 x1 1 x1 x3 + + + 1 x2 x3 , 1 , x 32 x3 x1 x3 + x1 + x2 x3 + x3 x2 . Q6) On considère dans le plan l’hyperbole H d’équation y = x1 , et on note M1 , M2 , M3 les points de H d’abscisses respectivement x 1 , x 2 , x 3 . En utilisant la partie I, montrer que le triangle M1 M2 M3 est équilatéral, et que son centre de gravité G appartient aussi à l’hyperbole H . Q7) On suppose dans cette question que r = 1. Calculer les racines x 1 , x 2 , x 3 du polynôme P, et représenter sur une même figure l’hyperbole H , le triangle M1 M2 M3 et le point G. √ (On rappelle que 3 ≈ 1.73 à 10 −2 près.) Q8) Mêmes questions pour r = −1. Partie III On conserve les notations de la partie II, et on suppose r toujours non nul mais aussi distinct de 1 et −1. On note C le cercle de centre G et passant par M1 . On rappelle que, comme le triangle M1 M2 M3 est équilatéral, C est son cercle circonscrit, c’est-à-dire qu’il passe aussi par les points M2 et M3 . Q9) On note R le rayon du cercle C . En utilisant que R2 = 13 (GM12 + GM22 + GM32 ) et les résultats de la question 5b, prouver que : R2 = 4r 2 + 4 . r2 En déduire une équation cartésienne du cercle C dépendant uniquement de r. Q10) On définit le polynôme Q = X 4 − 2r X 3 − 3(r 2 + 1 )X 2 r2 − r2 X + 1. Vérifier que Q admet −r pour racine, et déterminer le polynôme Z tel que Q = (X + r) Z. Comparer P et Z, et en déduire les racines du polynôme Q en justifiant qu’elles sont toutes distinctes. Q11) Montrer que le cercle C passe par un point Ω de l’hyperbole H distinct de M1 , M2 , M3 . Quelle relation géométrique relie les points G et Ω ? Q12) Représenter sur une même figure l’hyperbole H et le point G, puis expliquer comment on peut construire le triangle M1 M2 M3 à l’aide uniquement d’une règle et d’un compas. TSVP → 3 Problème 3 : Approximation de fonctions par des polynômes On note R[X] l’espace des polynômes réels en l’indéterminée X. On note Rn [X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur à n. On pourra identifier polynôme et fonction polynomiale sur [−1, 1]. Si f est une fonction continue sur [−1, 1], on note || f ||∞ = max x ∈[−1,1] | f (x)|. Q1) Question préliminaire : justifier l’existence de || f ||∞ . Partie I : Étude d’une famille de polynômes   [−1, 1] → R On pose pour tout n ∈ N, f n :   x 7→ cos(n arccos(x))  Q2) Simplifier f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x) et f 3 (x) pour x ∈ [−1, 1]. Q3) Démontrer que pour tout entier naturel n et tout x ∈ [−1, 1], f n+2 (x) = 2x f n+1 (x) − f n (x). On pourra factoriser l’expression f n+2 (x) + f n (x). Q4) En déduire par récurrence que pour tout n ∈ N, il existe un unique polynôme Tn de R[X] tel que ∀x ∈ [−1, 1], Tn (x) = f n (x). Q5) Soit n ∈ N∗ . Étudions quelques propriétés des polynômes Tn . a) Démontrer que Tn est de degré n et de coefficient dominant 2n−1 . π b) Justifier que pour tout k ∈ J0, n − 1K, f n cos 2n + knπ = 0. c) En déduire que Tn admet n racines simples qui sont toutes dans [−1, 1]. d) En utilisant la question 4, montrer que pour tout m ∈ N, Tn ◦ Tm = Tm ◦ Tn = Tnm . Q6) On fixe toujours n ∈ N∗ . Étudions à présent les variations des polynômes Tn . a) Montrer que f n est dérivable sur un intervalle que l’on précisera et montrer que f n0 s’annule en an−1 < an−2 < . . . < a1 que l’on déterminera. b) Que peut-on dire de Tn0 ? c) On pose an = −1 et a0 = 1. Calculer Tn (ak ) pour k ∈ J0, nK. d) En déduire que si |x| > 1, alors |Tn (x)| > 1. Q7) On note Rn l’ensemble des polynômes unitaires de R[X] de degré exactement égal à n. On pose T˜n = 1 ˜ ˜ n −1 Tn ∈ R n d’après la question 4.a. On veut alors montrer que Tn est un polynôme de R n tel que ||Tn || ∞ (qui 2 existe d’après la question préliminaire) soit minimale. On raisonne alors par l’absurde en supposant qu’il existe Q ∈ Rn tel que ||Q||∞ < ||T˜n ||∞ . a) Calculer ||T˜n ||∞ . b) On pose D = T˜n − Q. Que dire du degré de D ? c) Étudier le signe de D(ak ) pour k ∈ J0, nK et conclure. Cela prendrait plus de temps mais on peut montrer que T˜n est l’unique polynôme de Rn tel que ||T˜n ||∞ est minimale. Partie II : Polynôme de meilleure approximation Soit n ∈ N∗ et b0 < b1 < . . . < bn des points deux à deux distincts du segment [−1, 1].   ∀i , k, L k (bi ) = 0 Q8) Montrer qu’il existe un unique polynôme L k ∈ Rn [X] tel que  . On donnera également  L k (bk ) = 1  une expression explicite de L k . 4 Q9) Soit f une fonction réelle définie sur [−1, 1]. Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ Rn [X] tel que pour tout i ∈ J0, nK, f (bi ) = P(bi ). On désire maintenant majorer l’écart maximal entre f et P sur [−1, 1], c’est à dire majorer la quantité || f − P||∞ . Qn On suppose pour cela que f est de classe C n+1 sur [−1, 1] et on considère le polynôme Πn+1 = i=0 (X − bi ). Q10) Soit x ∈ [−1, 1]. On veut montrer qu’il existe η ∈ [−1, 1] tel que : f (x) − P(x) = Πn+1 (x) (n+1) f (η). (n + 1)! a) Montrer le résultat si x ∈ {b0 , . . . , bn }. b) On suppose dans les trois questions suivantes que x < {b0 , . . . , bn }. On pose pour t ∈ [−1, 1] : F (t) = f (t) − P(t) − K × Πn+1 (t) où K est une constante qui ne dépend pas de t (mais qui peut dépendre de x puisque x est fixé). Quelle est la régularité de F ? Quelle valeur de K faut-il choisir pour que F (x) = 0 ? c) En utilisant le théorème de Rolle, montrer que F 0 s’annule en n + 1 points distincts de [−1, 1]. d) De la même façon, montrer qu’il existe η ∈ [−1, 1] tel que F (n+1) (η) = 0 et conclure. Q11) En déduire que || f − P||∞ 6 | |Π n+1 | | ∞ (n+1) || . ∞ (n+1)! || f Q12) Comment doit-on choisir les points b0 , . . . , bn pour que ||Πn+1 ||∞ soit minimale ? – FIN – 5