DS 4

Devoir surveillé no 4
PCSI 1
2014/2015
Samedi 13 décembre
4h
Les résultats doivent être encadrés.
Les calculatrices sont interdites.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé,
il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Exercice 1.
Résoudre l’équation différentielle sur
R:
x2 .y 0 − y = (2x2 − 1)e2x .
(E)
Exercice 2.
On considère l’équation différentielle :
(E)
(x2 + 1)y 00 + 2xy 0 +
y
= 0.
1 + x2
1. Soit y une fonction solution. On pose z : t 7→ y(tan t). Montrer que la fonction
z est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2.
2. Résoudre (E).
Exercice 3.
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Montrer que :
1
.
∀x ∈ R, b2xc = bxc + x +
2
2. Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
b2x − 1c = b4 − xc .
3. Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de :
1
n
∗
A = (−1) 1 +
,n∈N .
n
Problème 1.
On considère la suite (un )n∈N définie par ses deux premiers termes u0 = 1 et u1 = 2
ainsi que la relation :
1
∀n ∈ N, un+2 = un+1 − un .
4
1. Déterminer, pour tout n ∈ N, l’expression de un en fonction de N.
Le but de la suite de ce problème est de recalculer le terme général de la suite
(un ) en utilisant une méthode matricielle. On n’utilisera donc pas le résultat
de la question 1.
On pose :
un+1
∀n ∈ N, Un =
.
un
2. (a) Déterminer A ∈ M2 (R) telle que :
∀n ∈ N, Un+1 = AUn .
(b) Soit n ∈ N, en déduire Un en fonction de U0 , A et n.
1 2
.
3. Soit la matrice : P =
2 0
(a) Montrer que P est inversible et calculer P −1 .
(b) Déterminer la matrice :
T = P −1 AP.
(c) Calculer, pour tout n ∈ N, T n .
(d) En déduire, pour tout n ∈ N, An .
4. Déterminer, pour tout n ∈ N, l’expression de un en fonction de
N.
(a) Calculer J 2 , puis pour tout entier naturel non nul n, J n .
Problème 2.
Tout au long de ce problème, M désigne la matrice carrée d’ordre 3 à coefficients
réels définie par :


−7 0 −8
M = 4 1 4 
4 0 5
et I3 désigne la matrice identité d’ordre 3.
1. Une première méthode pour le calcul des puissances de M .
Considérons la matrice A définie par : A = 14 (M − I3 ).
(a) Calculer A puis A2 .
(b) Montrer que pour tout entier n appartenant à {0, 1, 2}, il existe un réel
un tel que : M n = I3 + un A.
(c) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, il existe un réel
un tel que : M n = I3 + un A.
La preuve mettra en avant la relation : ∀n ∈ N, un+1 = −3un + 4.
(d) i. Déterminer pour tout entier naturel n, une expression de un en fonction de n.
ii. Pour tout n appartenant à N, en déduire une écriture matricielle de
M n ne faisant intervenir que l’entier n.
2. Une seconde méthode de calcul des puissances de M .
On pose :
1
J = (M + 3I3 ).
4
(b) Soit n un entier naturel non nul. Déterminer une expression de M n en
fonction de n, I3 et J.
(c) Pour tout n appartenant à N, en déduire une écriture matricielle de M n
ne faisant intervenir que l’entier n.
3. Une dernière méthode de calcul des puissances de M .
(a) On pose :

−2
P = 1
1

0 1
1 0 .
0 −1
Montrer que P est inversible et déterminer P −1 .
(b) On pose :

−3
D= 0
0

0 0
1 0 .
0 1
Calculer pour tout entier naturel n, l’expression de Dn .
(c) Montrer que P −1 M P = D.
(d) Pour tout n appartenant à N, en en déduire une écriture matricielle de
M n ne faisant intervenir que l’entier n.
2

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