基礎物理学演習（後期第３回）担当：岡林潤 1. 半無限の導体の表面の前方 a の距離に点電荷 Q がある。点電荷と導体面との間に働く引力を求めよ。また、導体の前方の点 P ( x, y, z ) につくられる電位、電場を求めよ。 2. 半径 a の接地した導体球の外部で中心 O から距離 b (a < b) のところに点電荷 Q がある。この場合の電気鏡像と点電荷が導体から受ける引力を求めよ。 3. (1) 内球の半径 a 、外球の半径 b の 2 つの同心導体球よりなるコンデンサーがある。外球を接地した場合の電気容量を求めよ。 (2) 軸方向に十分長い、半径 a , b (a < b) の同軸円筒コンデンサーの単位長さあたりの電気容量を求めよ。 (3) 半径 R の十分長い直線状導体が、互いに a 離して平行におかれているときの、単位長さあたりの電気容量を求めよ。ただし、 R << a (4) 極板面積 A 、間隔 d の平行板コンデンサーの電気容量を求めよ。 4. (1) 極座標表示 (r ,θ ,ϕ ) において、 φ (r ) が r にのみ依存する場合、 d 2φ (r ) 2 dφ (r ) 1 d ⎧ 2 dφ (r ) ⎫ ∇ φ (r ) = + = 2 ⎨r ⎬ dr 2 r dr r dr ⎩ dr ⎭ が成り立つことを示せ。 (2) 半径 a の球の内部に一様な密度 ρ で分布する電荷による電位を、ポアソン方 2 程式を解くことにより求めよ。 G 5. 原点に置かれた電気双極子モーメント p による電位は、 G G G 1 p⋅r φ (r ) = 4πε 0 r 3 1/ 2 G と与えられる。ただし、 r 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) である。この電位 φ (r ) が原点以外の点でラプラス方程式 ∇ 2φ (r ) = 0 を満たすことを示せ。 6. 図のように半径 a の導体球と同心の内径 c 外径 d の導体球殻から構成されるコンデンサーを考える。電極間の a < r < b および球殻の外側 d < r は真空 ( 誘電率ε 0 ) 、 b < r < c は誘電率 ε の誘電体である。導体球のみに電荷 Q ( > 0 ) を与えたとき、以下の問いに答えよ。 (1) この時の電束密度 D, 電界 E, 分極 P, 無限遠を基準点とする電位 ϕ の分布を求めよ。 (2) D, E, P, ϕ の動径座標 r に対するグラフの概形を示せ。 (3) D, E, P の場を流線で図示し、それぞれの場と ρ ， ρ p の分布との関係（どこから発生してどこで終端するか）等を説明せよ。 7. 導体が誘電率 ε の誘電体に囲まれているとき、真電荷の面密度を σ として、 (1) 導体表面前方の電場を求めよ。 (2) 分極電荷の面密度を求めよ。レポート課題 3-1 原点 O からの距離 r の点の電位が φ (r ) = 1 q −r / λ e で与えられているとき、 4πε 0 r (1) 原点を除いた点の電荷分布 ρ (r ) を求めよ。[Poisson 方程式より求めよ] (2) 原点を除いた点の全電荷量を求めよ。[(1)の電荷密度を 0 から ∞ まで体積積分せよ] (3) 電場 E (r ) を求めよ。 (4) 半径 a の球を考え、全電気力束を計算せよ。[Gauss の法則の左辺を計算せよ] (5) (4)で a → 0 とすることにより、原点に点電荷 q があることを示せ。レポート課題 3-2 半径 a の無限に長い円筒の内部に一様な密度 ρ で分布する電荷による電位を、ポアソン方程式を解くことにより求め、図示せよ。ただし、円筒の中心で電場はゼロ、側面上の点における電位は連続とする。ここで、円筒座標 (r ,θ , z ) において φ (r ) が r のみによる場合、 ∇ 2φ (r ) = d 2φ (r ) 1 dφ (r ) 1 d ⎧ dφ (r ) ⎫ + = ⎨r ⎬ dr 2 r dr r dr ⎩ dr ⎭ と書けることを用いよ。レポート課題 3-3 (1) 直径 3 mm の銅線と、その外側の内直径 1.0 cm の鉛管の間に、比誘電率 3.0 のゴムを満たしたケーブル 1 km あたりの電気容量はいくらか。 (2) 半径 a の導体球の電気容量を求めよ。地球を導体球とみなして、その電気容量を求めよ。ただし、地球の直径を 6.4×106 mとする。