プラズマ工学九州工業大学電気工学科趙孟佑 No.2 ~プラズマ振動

プラズマ工学特論
九州工業大学電気工学科
趙孟佑
No.2
プラズマ振動∼
∼デバイ遮へい∼
∼プラズマパラメータ∼
1
デバイ遮へいとプラズマパラメータ
教科書のp154~159
2
クーロン力
• 電荷Q1と電荷Q2の間に働くクーロン力
Q1Q2
F=
4πε o R 2
R
Q1
Q2
無限遠まで働く長距離力
3
ポテンシャルエネルギーと熱運動エネルギー
イオン
電子
d
• プラズマ中の粒子間の平均距離をdとする
e2
粒子間のクーロン力のポテンシャルエネルギー eφ = 4πε d
o
e:荷電粒子一個ずつの電荷量
4
ポテンシャルエネルギーと熱運動エネルギー
d
• 粒子が温度Tのマクスウェル分布をしているとする
粒子一個の運動エネルギー(1/2)mu2の平均値
3
κT
2
5
ポテンシャルエネルギーと熱運動エネルギー
e2
粒子間のクーロン力のポテンシャルエネルギー eφ = 4πε d
o
粒子一個の運動エネルギー(1/2)mu2の平均値
3
κT
2
• プラズマ中では普通、熱運動エネルギーは個々の粒
子間のクーロンポテンシャルエネルギーよりも遥かに
大きい
3
κT
4πε o d 3
2
=
κ T >> 1
2
e 2
eφ
プラズマ粒子はお互いのクーロン力に束縛されることなく
自由に動くことができる
6
デバイ遮へい
• プラズマは、外部から与えられた電界に対して、
自ら動いて反応する。
7
デバイ遮へい
• プラズマは、外部から与えられた電界に対して、
自ら動いて反応する。
＋
-
8
デバイ遮へい
• プラズマは、外部から与えられた電界に対して、
自ら動いて反応する。
+
-
9
デバイ遮へい
• プラズマは、外部から与えられた電界に対して、
自ら動いて反応する。
+
-
帯電した導体球の影響を受けない
10
デバイ長
• どれくらいの距離で、帯電物体の影響を遮へいでき
るか？
– デバイ遮へいをするのは、主に電子である。
– イオンは少し動くだけ
密度n0,温度Tのプラズマ
x
x方向に電子が動いて、
Φ0 正電位をもったグリッドからの
11
電界を遮へいする
デバイ長
• どれくらいの距離で、帯電物体の影響を遮へいでき
るか？
– デバイ遮へいをするのは、主に電子である。
– イオンは少し動くだけ
密度はn0で不変
x
x方向に電子が動いて、
Φ0 正電位をもったグリッドからの
12
電界を遮へいする
デバイ長
• 1次元のポアッソン方程式
∇i D = ρ
gaussの式
∇i D = e(ni − ne )
D = ε 0 E より
∇i E =
e(ni − ne )
ε0
∇i( −∇φ ) =
−∇ φ =
2
e(ni − ne )
ε0
E = −∇φ より
e(ni − ne )
ε0
e(ni − ne )
∂2
φ =−
2
ε0
∂x
x方向だけの一次元で考える
13
デバイ長
• 1次元のポアッソン方程式
∂2
e(ni − ne )
φ=−
2
∂x
ε0
イオンは重いので殆ど動かないと仮定
ni=n0
電子は、グリッドの廻りでは、周囲の値から少しずれると考える
⎛ eφ ⎞
ne = n0 exp ⎜
⎝ κ T ⎟⎠
ボルツマン分布
14
ボルツマン分布
• 電子がボルツマン分布をしている理由
⎛ eφ ⎞
ne = n0 exp ⎜
⎝ κ T ⎟⎠
電子少ない
電子多い電子少ない
x
Φ0
詳しくはp.63
15
ボルツマン分布
• 電子がボルツマン分布をしている理由
⎛ eφ ⎞
ne = n0 exp ⎜
⎝ κ T ⎟⎠
電子少ない
電子多い電子少ない
x
電界
電子を引き寄せる力
バランスする
圧力小
圧力大
p=nκTより、密度が
多ければ、圧力高い
圧力小
集まった電子をばらそうとする圧力
16
ボルツマン分布
• 電子がボルツマン分布をしている理由
電子を引き寄せる力
バランスする
圧力小
圧力大
∂
enE = −en φ
∂x
圧力小
集まった電子をばらそうとする圧力
∂
∂
∂
− p = − (nκ T ) = −κ T n
∂
∂
−κ T n = −en φ
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
1 ∂
e ∂
n=
φ
κ T ∂x
n ∂x
e
ln n − ln n0 =
(φ − 0 ) n0:電位がゼロのところの密度
κT
⎛ eφ ⎞
17
ne = n0 exp ⎜
⎟
⎝ κT ⎠
デバイ長
• 1次元のポアッソン方程式
∂2
e(ni − ne )
φ=−
2
∂x
ε0
ni=n0
⎛ eφ ⎞
ne = n0 exp ⎜
⎝ κ T ⎟⎠
を代入
電位eΦが温度κTに比べて十分に小さいと仮定
eφ ⎞
⎛ eφ ⎞
⎛
ne = n0 exp ⎜
≈ n0 ⎜ 1 +
⎟
⎝ κT ⎠
⎝ κ T ⎟⎠
Taylor展開
∂2
eφ
e
φ = n0
2
∂x
ε0 κT
18
デバイ長
• 1次元のポアッソン方程式
∂2
eφ
e
φ = n0
2
∂x
ε0 κT
1 ∂2
e2 n0
φ=
2
φ ∂x
ε 0κ T
1
1 ∂2
φ= 2
2
φ ∂x
λD
と置き換えて、
この微分方程式を満たすのは、
⎛ x ⎞
φ = φ0 exp ⎜ − ⎟
⎝ λ ⎠
D
19
デバイ長
• 1次元のポアッソン方程式の解は
⎛ x ⎞
φ = φ0 exp ⎜ − ⎟
⎝ λD ⎠
ここで
λD =
ε 0κ T
n0 e2
デバイ長
グリッドからの電界はλDのスケールで急激に小さくなる
プラズマ中である電位をもったとしても、その存在が
伝わる距離は、せいぜいがデバイ長程度である。
20
デバイ長のもう一つの意味
x
ie
ie
ie
ie
ie
ie
ie
ie
準中性
ie
ie
ie
ie
i
i
i
i
i
i
i
i
e
e
e
e
i
i
i
i
e
e
e
e
e
e
e
e
ene x
=
E
εo
分離
2
2
enx
eφ = eEx = εe < kTe
o
分離による電界
x<
ε 0κ T
n0 e
2
= λD
電荷が勝手に分離することによって生じるポテンシャルエネルギー
は熱運動のエネルギーを超えられない
プラズマはデバイ長よりも大きなスケールで見ている限りは
準中性を保っている
21
プラズマパラメータe
e
e
e
e
e
e
e
e
e e e
e
e
e
e
e
e
e
+Q
e
e
e
e
e
e
e
e
high density
e
e
e
e
e
e
+Q
e
e
e
e
e
e
e
e
e
low density
デバイ遮へいを行って、プラズマの大部分を準中性に保つには、
デバイ長で定義される体積中に十分な粒子の数がないといけない
22
プラズマパラメータ
デバイ遮へいを行って、プラズマの大部分を準中性に保つには、
デバイ長で定義される体積中に十分な粒子の数がないといけない
4
N λ = π n0 λ D3 >> 1
3
Nλ：プラズマパラメータ
Nλ ∝
⎛3 ⎞
⎜⎝ κ T ⎟⎠
2
⎛ e ⎞
⎜⎝ 4πε ⎟⎠
0
2
3/2
=
3/2
n1/2
0
⎛3 ⎞
⎜⎝ κ T ⎟⎠
2
⎛ e ⎞
⎜⎝ 4πε ⎟⎠
0
2
3/2
3/2
⎛ 1⎞
⎜⎝ 3 ⎟⎠
d
1/2
=
⎛3 ⎞
⎜⎝ κ T ⎟⎠
2
ここで
3/2
⎛ e2 ⎞
⎜⎝ 4πε d ⎟⎠
0
⎛ 1⎞
n0 ≈ ⎜ ⎟
⎝ d⎠
3/2
プラズマパラメータは、粒子の熱運動エネルギーと隣接粒子間のポ
テンシャルエネルギーの比を意味する
23
3
プラズマ振動
• プラズマ中では電子とイオンは自由に動ける
• しかし、外部から電界をかけない限り、完全に分離することは
できない
• 少し離れると、プラスとマイナスの電荷が引きあって、それ以
上引き離さないようにする。
– つかず、離れずの関係
• 電子とイオンは重さが全然違う
電子はイオンの1800分の1かそれ以下の質量しかない
• 電子は行き過ぎて、結局イオンの廻りをいったりきたりする
24
プラズマ振動
x
e
e
e
e
i
i
i
i
i
i
i
i
ei
ei
ei
ei
ei
ei
ei
ei
i
i
i
i
i
i
i
i
e
e
e
e
i
i
i
i
e
e
e
e
e
e
e
e
i
i
i
i
εo
enx
E= ε
o
反発力
n:電子密度
E:電界
2
i
i
i
i
e
e
e
e
σ
=
E
m
d x=−
eE
2
dt
2
2
d x = − e ne x
2
εo
dt
単振動の式。角周波数は
2
e
n
ω pe = e
ε o me
me
e
e
e
e
e
e
e
e
25
Charge density
Electric potential
Quick Timeý Ç² É rÉ fÉI êLí£Év ÉçÉ OÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉ sÉ NÉ `ÉÉ Ç¾å©ÇÈ Çž Ç½Ç…ÇÕï Kóv
Quick Timeý Ç² É rÉ fÉI êLí£Év ÉçÉ OÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉ sÉ NÉ `ÉÉ Ç¾å©ÇÈ Çž Ç½Ç…ÇÕï Kóv
negative
(more electrons)
zero
positive
(more ions)
zero
26
positive

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