電磁気学Ｂコース宿題Ｎｏ．１一様に帯電した球の内外における電場はガウスの法則により、 Q Qr Er(r) = for r > a, for r < a 2 4πε 0r 4πε 0 a3 で与えられる。ただし、a は球の半径、Q は全電荷である。これを利用して、 (a) 地球の密度が一様であると仮定して、地球の内外における重力（重力加速度）を求めよ。地表における重力加速度を g = 9.8m/s2、地球の半径を R = 40000km/(2π)とし、地球の自転は無視する。 (b) 地球の直径に沿ってトンネルを掘り、地表から物体を静かに放すと、物体は地球の裏側まで行って返ってくる。その周期 T1 を求めよ。空気抵抗は無視する。 (c) 地表すれすれの円軌道をもつ人工衛星の周期 T2 を求め、T1 と比較せよ。［解答例］ (a) 地球の中心からの距離 r に置かれた質量 m の質点に働く万有引力は、対称性から、地球の中心へ向かい、大きさは半径 r の球内の質量が地球の中心にあるときと同じである。 Gm Mr3 GMmr mgr for r < R Fr(r) = − r2 R3 = − R3 = − R GMm mgR2 = − r2 = − r2 for r > R GMm for r = R = − R2 = − mg (b) 地球の直径に沿って x 軸をとると、トンネル内の質点の運動方程式は mg GMmx ⋅⋅ mx = − R3 = − R x よって、単振動の角振動数、周期は、 2π g R , T = = 2 ≅ 5×103 s ω1 = π 1 R g ω1 ⋅ ⋅⋅ (c) 円柱座標での半径方向の加速度は、aρ = ρ − ρφ 2 半径 R、角速度ω2 の等速円運動では、aρ = − Rω 2 g よって、運動方程式は、mRω2 2 = − mg → ω2 = R すなわち、(b) と同じ。