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基礎物理学演習（後期第４回）
担当：岡林潤
G
1. 速度ベクトル v = (vx , v y , vz ) に対して、図のような長方
形に沿った線積分を行い、ストークスの定理
G
G G
G
v
⋅
d
s
=
(
rot
v
)
⋅
d
S
∫
∫∫
が成り立つことを確かめよ。ただし、微小量 dx , dy に
対して
∂v
vx ( x + dx, y ) = vx ( x, y ) + x dx + ...
などを用いよ。
∂x
y
y+dy
y
A4
A3
A1
A2
x
x+dx
x
2. xy 平面上の原点を中心とする単位円周上を反時計回りに１周する積分路を
C1, xz 平面上の原点を中心とする単位円周上を反時計回りに１周する積分路
を C2 ，原点を中心とする単位球面を S とする。このとき，ベクトル関数
F = ( − y , x , z ) について，以下の問いに答えよ。
(1)
v∫
C1
F ⋅ dl ， v∫ F ⋅ dl および v∫ F ⋅ dS を求めよ。
C2
S
(2) ベクトル関数 F の発散と回転を求め、(1)の結果との関係について議論せよ。
3.
(1) 無限の長さをもつ直線上導線を流れる電流 i が、導線から距離 r 離れた点に
生じる磁束密度を、Biot-Savart の法則から求めよ。
(2) 一辺が l の正方形コイルに電流 i が流れている。コイルの中心における磁束
密度の向きと大きさを求めよ。
(3) 半径 a の円電流 i により、円の中心に生じる磁束密度を Biot-Savart の法則
を用いて求めよ。
(4) 半径 a の円形コイルに円電流 i が流れている。このコイルの中心軸上 z 上方
に生じる磁束密度を求めよ。
4.
(1) 無限の長さをもつ直線状導線を流れる電流 i が、導線から距離 r 離れた点 P
に生じる磁場を Ampere の法則より求めよ。
(2) 断面の半径 a の無限に長い円柱状導線に電流 i （導線内で電流密度は一様）
が流れている。導線の内外に生じる磁場を Ampere の法則により求めよ。
(3) 上記(2)と同じ円柱状導線を 2 本、互いの中心軸の間隔が d となるように並
べた。これらの導線に互いに方向が逆の等しい電流 i （電流密度は一様）が
流れるとき、両導線間の単位長さあたりを横切る磁束を求めよ。
5. 半径 a 、長さ 2l 、総巻き数 N の導線を一様密
l
l
に巻いたソレノイドに電流 i が流れている。
(1) 中心軸上の点 P における磁束密度を求めよ。
θ1
a
ただし θ1 , θ 2 は図のように点 P とソレノイ
O θ2 P
ドの端点を結ぶ直線と中心軸とのなす角度と
する。
(2) 中心軸上のソレノイドの中点に生じる磁束密度 B0 と、端点に生じる磁束密
度 B1 を求めよ。
(3) ソレノイドの長さ 2l が半径 a に比べて十分長いとき、 B1 / B0 = 1 / 2 となるこ
とを示せ。
(4) 点 P のソレノイドの中心軸上の中点 O からの座標を x とする。このとき、磁
束密度は
B=
μ0iN ⎛⎜
l+x
4l ⎜⎝ a 2 + (l + x) 2
+
⎞
⎟
2
2 ⎟
a + (l − x) ⎠
l−x
となることを示せ。
6. 図のような、半径 a の円形断面をもつ、中心軸からの
半径が d であるようなトロイダルコイルがある。コイル
は一様に巻かれており、総巻き数を N とする。コイルに
流れる電流を i とする。
(1) 円形の断面内の点 P における磁場を求めよ。
(2) トロイダルコイルの外部の磁場はどのようになるか。
(3) トロイダルコイルがドーナツ型の鉄心を用いて作ら
れているとする。鉄の透磁率を μ として、鉄心の断面
を横切る全磁束、および断面での平均の磁束密度を求
めよ。
(4) d >> a のときの磁束密度を求めよ。
P(r,θ)
a
d
O
H
i
レポート課題 4-1
半径 a の円形コイルが 2 つある。2 つのコイルの中心軸を同じにして間隔 2b で
平行に並べた。両コイルに等しい電流 i を同じ向きに流すとき、両コイルの中心
軸上中点から z ずれた場所に生じる磁束密度を求めよ。また、 z を微少量と近似
し（ z << a, b ）、中点近傍での磁束密度を求めよ。
レポート課題 4-2
図のように外半径 a 、内半径 b の無限に長い中空円筒の導
体と、半径 c の円筒導体からなる同軸ケーブルがある。各
導体に大きさの等しい電流 i が互いに反対方向に流れて
いるとき、中心軸からの距離 r の点での磁場の強さを
Ampere の法則を用いて求めよ。結果をグラフに示せ。た
だし、各導体内での電流密度は一様であるとする。
b
c
a
r
レポート課題 4-3
(1) 透磁率 μ 、一辺の長さ c の長方形の断面をもつ鉄心がある。この鉄心は内半
径 a 、外半径 b の環を構成している。鉄心に総巻き数 N のコイルを巻き、電
流 i を流した。このとき、断面の中心に生じる磁束密度をアンペールの法則
から求めよ。
(2)上問で求めた断面の中心の磁束密度を、この断面を貫く平均磁束密度と近似
する。このときの断面を通過する全時速を求めよ。
(3) 上問(2)のような近似をせず、鉄心の断面を貫く全磁束を求めよ。
[横方向 a から b まで、縦方向 0 から c まで積分する]
レポート課題 4-4
次の定積分の値を求めよ。
π
I=
dθ
∫π a + r cosθ
−
(a > r )

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