基幹物理学IB

Title
基幹物理学IB
-電磁気学-
九州大学工学部電気情報工学科
竪直也
01/27
本講義の概要
•対象：地球環境工学科1年生
•担当：21クラス…竪准教授＠2305
•時間：月曜4限
•講義資料：随時ダウンロード可
http://npip.ed.kyushu-u.ac.jp/lectures.html
•教科書：栗焼久夫，副島雄児，鴇田昌之，原田恒司，
本庄春雄，矢山英樹共著，「基幹物理学」（培風館）
※ 基幹物理学IB演習…木曜1限西島准教授＠2201
02/27
講義内容
第１回：電荷と電場
第２回：ガウスの法則と電位
第３回：導体と誘電体
第４回：定常電流
第５回：磁荷と磁束密度
第６回：磁性体と電磁誘導
第７回：マクスウェル方程式と電磁波
第８回：
03/27
講義日程
第８回
５限＠2305
教場試験
04/27
マクスウェル方程式
電束密度
∫
D ⋅ ndS = ∫ ρdV
∫
B ⋅ ndS = 0
S
S
電場
磁場
抵抗率
V
磁束密度
∂B
!∫ C Eds = − ∫S ∂t ⋅ ndS 電流
⎛ ∂D ⎞
!∫ C Hds = − ∫S ⎜⎝ i + ∂t ⎟⎠ ⋅ ndS
マクスウェル方程式が表す描像を
視覚的に認識し理解できるようになること！
クーロン力の式
๏ 点電荷1が点電荷2より受ける力
点電荷2
点電荷1
単位ベクトル
1 Q1Q2
1 Q1Q2
F1←2 ( r1 ) =
e12 =
2 e12
2
4πε 0 r12
4πε 0 r1 − r2
真空の透磁率 = 8.854 x 1012 [C2/Nm2]
06/27
電場の式
๏ 電場の定義
✓ 電場は，位置ベクトルr で表される位置に正の単位
電荷を置いたときに，その単位電荷に働くクーロン力
F(r )と同じ大きさと方向をもつ
正の単位電荷（仮）
Q ⋅1
1
Q r − r0
E(r ) =
2 er − r0 =
4πε 0 r − r0
4πε 0 r − r0 3
07/27
数学的準備①
๏ 座標系（直角座標系）とベクトル
✓ 3本の座標軸 x，y，z を設定することで3次元空間上の
任意の点を定義し，単位ベクトルの方向は各軸に沿う
08/27
数学的準備②
๏ 座標系（円筒座標系）とベクトル
✓ 半径方向ρ とz 軸を中心に反時計回りに回る角度φ を
定義することで，円柱状や線状の系の記述を簡便化
09/27
数学的準備③
๏ 座標系（極座標系）とベクトル
✓ 中心からの距離r とz 軸およびx 軸からの角度θ ，φ を
定義することで，点中心の系の記述を簡便化
10/27
線分布した電荷により生じる電場
๏ 無限個の点電荷が作る電場
線電荷密度
ρL [C/m]
ΔQ dQ
ρ L = lim
=
Δl →0 Δl
dl
ρ L Δl
ΔQ
ΔE =
e =
e
2 R
2 R
4πε 0 R
4πε 0 R
微小電荷 ΔQ
ρL
EP = ∫
eR dl
2
L 4πε R
0
11/27
面分布した電荷により生じる電場
๏ 無限個の点電荷が作る電場
面電荷密度
ρS [C/m2]
ΔQ dQ
ρ S ( r ) = lim
=
ΔS →0 ΔS
dS
ρ S ΔS
ΔQ
ΔE =
e =
e
2 R
2 R
4πε 0 R
4πε 0 R
微小電荷 ΔQ
ρS
EP = ∫
eR dS
2
S 4πε R
0
12/27
体積分布した電荷により生じる電場
๏ 無限個の点電荷が作る電場
体積電荷密度
ρ [C/m3]
ρΔv
ΔQ
ΔE =
e =
e
2 R
2 R
4πε 0 R
4πε 0 R
ΔQ dQ
ρ ( r ) = lim
=
Δv→0 Δv
dv
微小電荷 ΔQ
ρ
EP = ∫
eR dv
2
V 4πε R
0
13/27
【例題】分布した電荷により生じる電場
๏ 例題1.2
✓ 正に帯電した無限に長い直線が作る電場を求めよ．
R = rP − rA = rer − zez
＠円筒座標系（r, z）
ΔQ
ΔE =
e
2 R
4πε 0 R
14/27
Title
ガウスの法則と電位
-第２回電荷のまわりの電場を計算する場合に有用なガウスの法則に
ついて学び，電場が存在する空間のポテンシャル，等電位
面，電気力線等の概念を理解する．また，正負の電荷を近い
距離に置いたときのまわりの電場やポテンシャルについても
考察する．
15/27
数学的準備④
๏ Gradient（勾配）
⎛ ∂ ∂ ∂⎞
∇=⎜ , , ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∇φ = gradφ （勾配）
∂φ
∂φ
∂φ
gradφ ( x, y, z ) =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
16/27
電気力線
๏ 各点における電場の大きさと方向
1. 正電荷が始点，負電荷が終点
2. 途中で交差・分岐はしない
3. ゴムのように短くなろうとする
4. 隣り合う電気力線間には斥力が働く
5. ある点における電場の向きは，その点を通る電気力
線の接線方向
6. ある点における電場の大きさは，その接線方向を法
線とする微小面積を貫く電気力線の数の比例
17/27
電荷と電場と電気力線
๏ 電荷から生じる電気力線の総本数
1
N=
lim ∑ E ⋅ nΔS
kG ΔS →0 ΔS
1
=
E ⋅ dS
∫
kG
電気力線の本数
…ΔN 本
ΔN
E = kG
ΔS
1 ⎛ Q ⎞
n ⋅ dS
=
2⎟
∫
⎜
kG ⎝ 4πε 0 R ⎠
Q
1
Q
2
=
× 4π R =
2
kG 4πε 0 R
kG ε 0
1
1
ΔN =
E ⋅ nΔS =
E ⋅ ΔS
kG
kG
18/27
ガウスの法則
๏ 電荷と電場の関係を表す法則
✓ ある適当な領域において，その中に含まれる電荷
の総和とそれに由来する電場の強さは比例する
※ 閉曲面の外部の
電荷は無視できる
1 n
Qi
∫ E ⋅ ndS = ∫ E ⋅ dS = ε 0 ∑
i =1
19/27
連続分布した電荷がつくる電場
๏ 連続分布した電荷に対するガウスの法則
✓ 個別の電荷は識別できないため，
電荷密度を用いて定式化
微小体積dvにおける
電荷密度 ρL
∫ E ⋅ ndS = ∫ E ⋅ dS
1 n
1
= ∑ Qi = ∫ ρ ( r )dv
ε 0 i =1
ε0
個別の電荷
電荷密度
20/27
【例題】分布した電荷により生じる電場
๏ 例題2.2
✓ 球（半径a）の内部に正の電荷が一様に分布してい
る（電荷密度ρ）ときの電場を求めよ．
球状閉曲面大
1
∫ E ⋅ ndS = ε 0 ∫ ρ ( r )dv
E ∫ dS = E4π r
球状閉曲面小
2
(1) r<a（球内）
(2) r≧a（球外）
21/27
電位差（電圧）
๏ 「電位差」の考え方
✓ 電位差（電圧）＝単位電荷をクーロン力に逆らって
ある座標から別の座標へと移動させるのに必要な仕事
B
B
A
A
W = ∫ dW = ∫
( −F ( r )) dr = − ∫
B
A
qE ( r ) dr
q = 1 [C]
VAB = − ∫ E ( r ) dr
B
A
✓単位は [V] = [J/C]
22/27
電池の「電圧」？
23/27
電位
๏ 「電位」の考え方
✓ 無限遠を基準点として，その点における「電位」の
値を0 [V]と定義する
✓ 電位（静電ポテンシャル）＝基準点とある点（位置
ベクトルr）との間の電位差（電圧）
rP
V(r )
V ( rP ) = − ∫ E ( r ) dr
∞
電位
rp
無限遠
24/27
電場と電位の関係
๏ 電場は電位の「勾配」
A(x, y, z)
V(x, y, z)
B(x+dx, y+dy, z+dz)
V(x+dx, y+dy, z+dz)
点A
点B
E ( r ) = −∇V ( r ) = −gradV ( r )
✓ 電場の単位は [N/C] = [N・m]/[C・m] = [J]/[C・m] = [V/m]
今日のまとめ
✓ 電気力線は，空間における電場の大きさと方向をわ
かりやすく描写したものである．
✓ ある適当な領域中に含まれる電荷の総和とそれに由
来する電場の強さは比例する（ガウスの法則）．
✓ 電場中で無限遠からある点まで単位電荷を動かした
ときに要する「仕事」を電位と定義する．
✓ 微小距離だけ離れた正負の電荷で構成される系を電
気双極子といい，その電気的特性は電気双極子モーメ
ントで表される．
26/27
次回予定
導体と誘電体
-第３回導体のもつ性質について理解した後，導体に電荷を与えたと
きにまわりに生じる電場と静電エネルギー密度との関係を導
く．また，導体がコンデンサーとして電荷を蓄えることを学
ぶ．さらに，誘電体に電場を印加した時の分極および誘電体
がある場合のガウスの法則についても学ぶ．
27/27

Download Report