第07回導体系とコンデンサ

開講学期：
科目名：
２０１６年前期
基礎電磁気学演習
担当教員：後藤太一, [email protected]
学籍番号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
基礎電磁気学演習
第０７回導体系とコンデンサ
氏名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
７．１静電容量 C A ， C B の２つの導体 A と B がそれぞれ， VA ， VB の電位に帯電し，十分に離して置か
れている．この２つの導体を接触させ十分時間が経ったあと，再び十分に引き離した．接触後の電位を V
として，以下の問いに答えよ．
（１）接触後の電位 V を C A ， C B ， VA ， VB を使って表わせ．
（２）接触によって移動した電荷量， ∆Q を求めよ．
（３）接触前と後の静電エネルギーの差を求めよ．

ε 
 の誘電体でできた一様な厚さの無限に広い板がある．この板を真空中で一様
 ε0 
７．２比誘電率 ε r  =
な電場 E0 に対して垂直に置くとき，以下の問いに答えよ．
(
)
（１）誘電体板の表面に現れる分極電荷密度 σ C ⋅ m −2 と誘電分
極 P （分極ベクトル）の関係を示せ．
（２）誘電体内の電場 E を比誘電率 ε r ，電場 E0 を用いて表わせ．
（３）誘電分極 P を比誘電率 ε r ，電束密度 D を用いて表わせ．
７．３図のように半径 a の導体球と同心に内半径 c の導体球を組み合わせた球形コンデンサがある．内
部には異なる誘電率 ε 1 ， ε 2 の誘電体が同心状につまっている．この球
形コンデンサの静電容量を次の手順で求めよ．
（１）原点 O から r 離れた場所での電場の大きさを求めよ．
（２）原点 O から r 離れた場所での静電ポテンシャルを求めよ．ただし，
内側の同体球の電位を φ0 とする．
（３）電極間の電位差を求めよ．
（４）このコンデンサの静電容量 C を求めよ．
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７．１
７．１静電容量 C A ， C B の２つの導体 A と B がそれぞれ， VA ， VB の電位に帯電し，十分に離して置か
れている．この２つの導体を接触させ十分時間が経ったあと，再び十分に引き離した．接触後の電位を V
として，以下の問いに答えよ．
（１）接触後の電位 V を C A ， C B ， VA ， VB を使って表わせ．
（２）接触によって移動した電荷量， ∆Q を求めよ．
（３）接触前と後の静電エネルギーの差を求めよ．
【解答】
（１）接触前に導体AおよびBに電荷Q A およびQ B が帯電していたとし接触後の電荷をそれぞれQ A ’およ
びQ B ’とする．孤立導体の電位をVとすれば，その孤立静電容量Cと帯電電荷Qの間にはQ=CVの関係が
ある．したがって，Q A =C A V A ，Q B =C B V B ，Q A ’＝C A V，Q B =C B Vの関係がある．また，接触前と接触後で
電荷の総量が変化しないのだから，
Q A +Q B =Q A ’+Q B ’が成立する．
したがって， V =
C AV A + C BV B
C A + CB
を得る．
（２）移動する電荷量 ∆Q は，
Q = Q A −Q A ' = C AV A − C AV =
C A C B (V A − V B )
C A + CB
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1
1
C AV A2 + C BV B2 である．同様に，接触後では，
2
2
C V + C BV B
1
U 2 = (C A + C B )V 2 である．ただし，（１）より， V = A A
C A + CB
2
（３）接触前の静電エネルギーU 1 は U 1 =
接触前と接触後の状態の静電エネルギーを計算すると，
 C V + C BV B
1
1
1
U 1 − U 2 = C AV A2 + C BV B2 − (C A + C B ) A A
2
2
2
 C A + CB
2

1 C A C B (V A − V B )
 =
2
C A + CB

2
となる．
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７．２
ε 
 の誘電体でできた一様な厚さの無限に広い板がある．この板を真空中で一様
 ε0 

７．２比誘電率 ε r  =
な電場 E0 に対して垂直に置くとき，以下の問いに答えよ．
(
)
（１）誘電体板の表面に現れる分極電荷密度 σ C ⋅ m −2 と誘電分
極 P （分極ベクトル）の関係を示せ．
（２）誘電体内の電場 E を比誘電率 ε r ，電場 E0 を用いて表わせ．
（３）誘電分極 P を比誘電率 ε r ，電束密度 D を用いて表わせ．
【解答】
（１） σ = P の関係がある．
（２）電束密度は境界面に垂直であるので， D 0 = D である．一方， D 0 = ε 0 E 0 ， D = εE であるから，
ε 0 E 0 = εE 0 ．したがって， E =
ε0
1
E0 =
E0 ．
εr
ε
（３）誘電体中では D = ε 0 E + P である．これより P = D − ε 0 E である．この式を少し変形して，
P = D−

ε0
ε
ε
1
εE = D − 0 εE = D − 0 D = 1 −
ε
ε
ε
ε
r


D となる．このように，誘電体内の分極と電束密度は密接な

関係にある．
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７．３
７．３図のように半径 a の導体球と同心に内半径 c の導体球を組み合わせた球形コンデンサがある．内
部には異なる誘電率 ε 1 ， ε 2 の誘電体が同心状につまっている．この球
形コンデンサの静電容量を次の手順で求めよ．
（１）原点 O から r 離れた場所での電場の大きさを求めよ．
（２）原点 O から r 離れた場所での静電ポテンシャルを求めよ．ただし，
内側の同体球の電位を φ0 とする．
（３）電極間の電位差を求めよ．
（４）このコンデンサの静電容量 C を求めよ．
ここで， D(r ) = εE(r ) であるが r の範囲によっ
【解答】
（１）系は球対称であるから，電場 E(r ) ，電束
密度 D(r ) ，静電ポテンシャル φ (r ) は球対称の
関数となり，その大きさは r のみの関数である．
内側の球に＋Q の電荷，外側の球に-Q の電荷
が帯電していると仮定する．
次に，ガウスの法則
∫ D(r) ⋅ n(r)dS = S内の全真電荷
S
て誘電率が変わるので，
( a ≤ r ≤ b)
ε E (r ) となり，
D(r ) =  1
(b ≤ r ≤ c)
ε 2 E (r )  Q
 4πε

1
E (r ) = 
 Q
 4πε 2
1
( a ≤ r ≤ b)
r2
1
(b ≤ r ≤ c)
r2
となる．
を球面 S について適用する．球面 S 上では球面
の外向き単位法線ベクトル n(r ) と電束密度
D(r ) が同方向であり，
D(r ) ⋅ n(r ) = D(r ) = D(r ) である．球面 S 上で
は D(r ) の大きさ D (r ) が一定であるので，積分
の中身は外に出せて，
∫ D(r) ⋅ n(r)dS = ∫
S
S
D(r )dS = D(r ) ∫ dS
S
となる．半径 r の球面 S の場合，ガウスの法則
は，
∫ D(r) ⋅ n(r)dS = 4πr
S
D(r ) =
2
D(r ) = Q となり，
Q
を得る．
4πr 2
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（２） E(r ) = − grad ⋅ φ (r ) の関係を極座標系で
r=b において， φ1 (r )とφ 2 (r ) の値は等しくなけれ
表せば，
ばならない．すなわち，
E(r ) = − grad ⋅ φ (r )
 ∂

1 ∂
1 ∂
= − e r φ (r ) + e θ
φ (r ) + e φ
φ (r ) 
r ∂θ
r sin θ ∂φ
 ∂r

である．また， E(r ) は e r 方向成分しかないので，
E(r ) = E (r ) × e r + 0 × eθ + 0 × eφ
 ∂

1 ∂
1 ∂
φ (r ) + eφ
φ (r ) 
= − e r φ (r ) + eθ
r ∂θ
r sin θ ∂φ
 ∂r

∂
= − φ (r ) × e r
∂r
である．
したがって， E (r ) = −
∂
φ (r ) となり， φ (r ) を求
∂r
Q 1
Q 1
+ k 2 となり，
+ k1 =
4πε 1 b
4πε 2 b
k2 =
Q 1 1
 −
4πb  ε 1 ε 2

Q 1
 + φ 0 −
4πε 1 a


Q 1 1
 −
 + k 1=
4πb  ε 1 ε 2

を得る．
したがって，
 Q 1 1
( a ≤ r ≤ b)
 4πε  r − a  + φ0 
 1
φ (r ) = 
 Q  1 − 1 +  1 − 1  1  + φ (b ≤ r ≤ c)
 4π  ε 2 r ε 1a  ε 1 ε 2  b  0

 
めるには E (r ) を r について積分すればよい．
（１）の結果を，それぞれの範囲で積分して，
 Q 1
( a ≤ r ≤ b)
 4πε r + k1 = φr (r )  1
φ (r ) = − ∫ E (r )dr = 
 Q 1 + k = φ (r ) (b ≤ r ≤ c)
 4πε 2 r 2 2
をえる．ただし，k 1 ，k 2 は積分定数．
（３）電極間の電位の差を求めればよいのだか
V = φ ( a ) − φ (c )
ら，
Q 1 1 1
1 1 1 
=




  −  +  − 
4π  ε 1  a b  ε 2  b c 
となる．
次に，積分定数を求める．内側の導体球の電
位が φ 0 なので，
φ (a) = φ1 (a) =
k1 = φ 0 −
（４） C = Q の関係から，
V
Q 1
+ k1 = φ 0 となって，
4πε 1 a
Q 1
4πε 1 a
C=
1
Q
Q
=
= 4π 
V φ ( a ) − φ (c )
ε 1
= 4π
1 1 1
 − +
 a b ε2
 1 1 
 − 
 b c 
ε 1 a (c − b) + ε 2 c(b − a)
ε 1ε 2 abc
となる．
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