演習問題2

微分積分 II 演習第 2 回
2016 年 10 月 26 日
演習問題
問題 1. 次の曲面 S と点 P について，接平面および法線の方程式を求めよ．
(i) S : z = −x2 − y + 6, P = (1, 2, 3)
(ii) S : z = 2x2 y 3 , P = (a, b, 2a2 b3 ) 問題 2. 関数 f (x, y) に対して，原点を中心として反時計回りに α 回転させる変数変換
x(u, v) = u cos α − v sin α,
y(u, v) = u sin α + v cos α
を考える．ただし，α は定数とする．次の問に答えよ.
∂(x, y)
を求めよ． (ii)
(i) ヤコビアン
∂(u, v)
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
(iii)
+
=
+
を示せ．
∂x2
∂y 2
∂u2
∂v 2
(
∂f
∂x
)2
(
+
∂f
∂y
)2
(
=
∂f
∂u
)2
(
+
∂f
∂v
)2
問題 3. 次の関数について， 2 次までのすべての偏導関数を求めよ.
(i) f (x, y) = 2x2 − 3xy + 4y 2
(ii) f (x, y) = sin
問題 4. 次の関数 f (x, y) は, ∆f =
(i) f (x, y) = log
√
x2 + y 2
√
xy
∂2f
∂2f
+
= 0 をみたすことを確かめよ．
∂x2
∂y 2
(ii) f (x, y) =
x+y
x2 + y 2
問題 5. f (x, y) = log(1 + 2x − y) に n = 2 としてマクローリンの定理を適用せよ．
問題 6. 次の関数 f (x, y) の極値を調べよ．
(i) f (x, y) = x4 + y 4 − (x − y)2
(ii) f (x, y) = (x + y)e−x
1
2
−y 2
を示せ．

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