解析学 II 演習問題 (No.10) (2016.1.21 出題) ∫ ∞ 問 30. s > 0 に対して Γ 関数を Γ(s) = xs−1 e−x dx で定め, さらに p, q > 0 に対して β 関数 0 ∫ 1 を B(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx で定める. 0 (1) Γ(s + 1) = sΓ(s) (s > 0) を示し, さらに Γ(n + 1) = n! (n ∈ N) を示せ. ∫ π 2 cos2p−1 x sin2q−1 xdx を示せ. (2) B(p, q) = 2 0 (3) Γ(p + q)B(p, q) = Γ(p)Γ(q) を示せ. √ ∫ ∞ π −x2 (4) e dx = を示せ. 2 0 問 31. 次の定積分を Γ 関数を用いて表せ. ∫ ∞ x−1 ∫ ∞ x−1 t t dt (x, y > 0) (1) dt (x > 0) (2) 1+t (1 + t)y 0 0 )y ∫ π ∫ 1 ( 2 1 x x (3) sin tdt (x > −1) (4) t log dt (x, y > 0) t 0 0 問 32. π が無理数であることを背理法で示す. n ∑ xn (q − px)n (−1)k fn(2k) (x) と定める. , Fn (x) = π = q/p (p, q ∈ N) を仮定する. fn (x) = n! k=0 n n π q (1) 0 < fn (x) sin x < (x ∈ [0, π]) を示せ. n! ∫ π (2) fn (x) sin xdx = Fn (π) + Fn (0) を示せ. 0 (3) Fn (π) + Fn (0) が自然数であることを示し, 矛盾を導け. 問 33. 平面曲線 C が, 極座標の方程式 r = r(θ) (α ≤ θ ≤ β) によって与えられているとき, r(θ) が C 1 級ならば, C の長さ L は次で与えられることを示せ. ∫ β√ L= r(θ)2 + r′ (θ)2 dθ. α 問 34. 次の方程式やパラメータ表示, もしくは極座標の方程式が表す曲線の長さを求めよ. た だし a > 0 とする. (1) x2 + y 2 = a2 . 2 (2) y = x 3 (0 ≤ x ≤ a). (3) x = a(θ − sin θ), y = a(θ − cos θ) (0 ≤ θ ≤ 2π). (4) x = a(1 + cos θ) cos θ, y = a(1 + cos θ) sin θ (0 ≤ θ ≤ 2π). (5) r = aθ (0 ≤ θ ≤ 2π). (6) r = a(1 + cos θ) (−π ≤ θ ≤ π). 配布済演習問題は以下にも在ります. http://home.hirohshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
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