解析学II演習問題 (No.10)

解析学 II 演習問題 (No.10)
（2016.1.21 出題）
∫
∞
問 30. s > 0 に対して Γ 関数を Γ(s) =
xs−1 e−x dx で定め, さらに p, q > 0 に対して β 関数
0
∫ 1
を B(p, q) =
xp−1 (1 − x)q−1 dx で定める.
0
(1) Γ(s + 1) = sΓ(s) (s > 0) を示し, さらに Γ(n + 1) = n! (n ∈ N) を示せ.
∫ π
2
cos2p−1 x sin2q−1 xdx を示せ.
(2) B(p, q) = 2
0
(3) Γ(p + q)B(p, q) = Γ(p)Γ(q) を示せ.
√
∫ ∞
π
−x2
(4)
e dx =
を示せ.
2
0
問 31. 次の定積分を Γ 関数を用いて表せ.
∫ ∞ x−1
∫ ∞ x−1
t
t
dt (x, y > 0)
(1)
dt (x > 0)
(2)
1+t
(1 + t)y
0
0
)y
∫ π
∫ 1 (
2
1
x
x
(3)
sin tdt (x > −1)
(4)
t log
dt (x, y > 0)
t
0
0
問 32. π が無理数であることを背理法で示す.
n
∑
xn (q − px)n
(−1)k fn(2k) (x) と定める.
, Fn (x) =
π = q/p (p, q ∈ N) を仮定する. fn (x) =
n!
k=0
n n
π q
(1) 0 < fn (x) sin x <
(x ∈ [0, π]) を示せ.
n!
∫ π
(2)
fn (x) sin xdx = Fn (π) + Fn (0) を示せ.
0
(3) Fn (π) + Fn (0) が自然数であることを示し, 矛盾を導け.
問 33. 平面曲線 C が, 極座標の方程式 r = r(θ) (α ≤ θ ≤ β) によって与えられているとき, r(θ)
が C 1 級ならば, C の長さ L は次で与えられることを示せ.
∫ β√
L=
r(θ)2 + r′ (θ)2 dθ.
α
問 34. 次の方程式やパラメータ表示, もしくは極座標の方程式が表す曲線の長さを求めよ. た
だし a > 0 とする.
(1) x2 + y 2 = a2 .
2
(2) y = x 3 (0 ≤ x ≤ a).
(3) x = a(θ − sin θ), y = a(θ − cos θ) (0 ≤ θ ≤ 2π).
(4) x = a(1 + cos θ) cos θ, y = a(1 + cos θ) sin θ (0 ≤ θ ≤ 2π).
(5) r = aθ (0 ≤ θ ≤ 2π).
(6) r = a(1 + cos θ) (−π ≤ θ ≤ π).
配布済演習問題は以下にも在ります.
http://home.hirohshima-u.ac.jp/tkura/mondai/

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