複素関数論演習問題解答木村泰紀∗ 2014 年 6 月 13 日出題問題 1. 次の問いに答えよ. (i) 複素定数 a ∈ C に対し, 複素関数 f (z) = eaz の 0 でのテイラー展開を求めよ. (ii) 定義式を用いて, 複素三角関数 cos z および sin z の 0 でのテイラー展開を求めよ. 解答 (i) f (z) の微分は f 0 (z) = aeaz , f 00 (z) = a2 eaz , f 000 (z) = a3 eaz , ... f (n) (z) = an eaz となるので, 0 でのテイラー展開の係数 cn は n = 0, 1, 2, . . . に対して cn = an e0 an f (0) (z) = = . n! n! n! よって, ∞ ∑ ∞ ∑ an z n f (z) = cn z = n! n=0 n=0 n 1 1 1 = 1 + az + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · + an z n + · · · 2 6 n! となる. (ii) 複素三角関数は cos z = eiz + e−iz , 2 sin z = eiz − e−iz 2i で定義される. (i) において, a = ±i とすると eiz = e−iz = ∗ ∞ n n ∑ i z , n! n=0 ∞ ∑ (−i)n z n n! n=0 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/ 1 より, ) ∞ n n ∞ ∞ ∑ ∑ i z 1 ∑ (in + (−i)n )z n (−i)n z n + = , n! n! 2 n=0 n! n=0 n=0 (∞ ) ∞ ∞ 1 iz 1 ∑ (in − (−i)n )z n 1 ∑ in z n ∑ (−i)n z n −iz sin z = (e − e ) = − = . 2i 2i n=0 n! n! 2i n=0 n! n=0 1 1 cos z = (eiz + e−iz ) = 2 2 ( ここで,   −2 (i = 2, 6, 10, . . . ) n n i + (−i) = 0 (i = 1, 3, 5, . . . ) ,   2 (i = 0, 4, 8, . . . )   (i = 1, 5, 9, . . . ) 2i n n i − (−i) = 0 (i = 0, 2, 4, . . . )   −2i (i = 3, 7, 11, . . . ) となるので, 0 でのテイラー展開は cos z = 1 2 ( 2 − z2 + 1 4 2(−1)k 2k z − ··· + z + ··· 12 (2k)! ) z2 z4 (−1)k 2k =1− + − ··· + z + ··· , 2 24 (2k)! ( ) 1 i 3 i 5 2i(−1)k 2k+1 sin z = iz − z + z − · · · + z + ··· 2i 3 60 (2k + 1)! =z− z5 (−1)k 2k+1 z3 + − ··· + z + ··· 6 120 (2k + 1)! となる. 2