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2016 慶應義塾大学理工学部数学解答例
1
(ア)
(イ)
36
182
(1) (2) (i) (ウ)
√
3
(エ)
(ii) 9
(iii) (オ)
√
7−1
4
(カ)
√
10 + 7 7
16
2
(1) (2) (キ)
ax2 − ax
(ク)
(ケ)
1 x2 − 1 x
4
4
5
16
(3) ∫ 1{
}
2
2
I=
(f ′ (x) − x) + 2 (f ′ (x) − x) h′ (x) + (h′ (x)) − f (x) − h(x) dx
0
∫
1
=J +2
(f ′ (x) − x) h′ (x)dx −
∫
h(x)dx
0
0
∫
[
]1
′
= J + 2 (f (x) − x) h(x) − 2
0
∫
1
1
=J −2
0
(
1
∫
′′
(f (x) − 1) h(x)dx −
0
=J
(4) h(x) = g(x) − f (x) とおくと，h(x) は (3) の条件を満たす．
∫
1
また，
(h′ (x)) dx ≧ 0 であるから
2
0
∫ 1{
}
2
(g ′ (x) − x) − g(x) dx = I
0
=J
∫
1
=m+
(h′ (x)) dx
2
0
≧m
である．
3
(1) (2) (コ)
(サ)
(シ)
13
36
349
648
479
648
(ス)
(セ)
(ソ)
(タ)
− 5
18
0
4
9
5
18
h(x)dx
0
∫ 1
)
1 − 1 h(x)dx −
h(x)dx
2
0
1 + 1
4
4
(
(チ)
)n
(
)n
4
+ 1 − 5
9
2
18
1
4
(ツ)
(1) 3
(テ)
(2) b
(3) ユークリッドの互除法より，ax − by = 1 の整数解 (x, y) が存在するので，その 1 つを
(k, k ′ ) とおくと，
(
)k
2a
2a
2ak
2ak
2 (bk ′ + 1)
2 (bk ′ + 1)
cos π + i sin π
= cos
π + i sin
π = cos
π + i sin
π
b
b
b
b
b
b
2
2
= cos π + i sin π
b
b
よって，事実 F は証明された．
(ト)
(ナ)
b1 b2
b1 b2
d
(4) 5
(ニ)
3
2
(ヌ)
√
3 15
4
(ネ)
→
−→
7−
AB + 1 AC
9
3
(ノ)
√
5 2
4
(ハ)
√
21 15
40
(ヒ)
45 √2
32

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