2014 年度後期 数学 C 確認問題５ 2014 年 11 月 11 日 配布 作成者：若杉 勇太 学籍番号： 氏名： ５．三角多項式による近似 ここでは，複素フーリエ級数 f (x) ∼ ∞ ∑ cn e inx , n=−∞ 1 cn = 2π ∫ π f (x)e−iny dy −π に対してベッセルの不等式を導いてみよう．そこで fN (x) = N ∑ cn einx n=−N とおき，また一般に複素数 dn (n ∈ N ) を係数にもつ三角多項式 FN (x) = N ∑ dn einx n=−N および誤差 ∫ EN = を考える． 問 5.1 ∫ π −π π −π |f (x) − FN (x)|2 dx |FN (x)|2 dx = 2π N ∑ n=−N を示せ． 1 |dn |2 問 5.2 ∫ N ∑ π −π f (x)FN (x)dx = 2π cn dn n=−N を示せ． 問 5.3 EN は dn = cn (−N ≤ n ≤ N ) のときに限り最小値 ∗ EN ∫ π |f (x)| dx − 2π 2 = −π N ∑ |cn |2 n=−N を取ることを示し，これからベッセルの不等式 ∞ ∑ n=−∞ |cn |2 ≤ 1 2π を示せ． 2 ∫ π −π |f (x)|2 dx
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