2014 年度後期数学 C 確認問題５（解答） 2014 年 11 月 11 日配布作成者：若杉勇太学籍番号：氏名：５．三角多項式による近似ここでは，複素フーリエ級数 f (x) ∼ ∞ ∑ cn e inx 1 cn = 2π , n=−∞ ∫ π f (x)e−iny dy −π に対してベッセルの不等式を導いてみよう．そこで N ∑ fN (x) = cn einx n=−N とおき，また一般に複素数 dn (n ∈ N ) を係数にもつ三角多項式 N ∑ FN (x) = dn einx n=−N および全２乗誤差 ∫ EN = を考える．問 5.1 ∫ π −π π −π |f (x) − FN (x)|2 dx N ∑ |FN (x)|2 dx = 2π |dn |2 n=−N を示せ． [解] ∫ π ∫ |FN (x)| dx = π ( 2 −π = −π dn e n=−N N ∑ ∫ n,m=−N = 2π )( N ∑ N ∑ inx N ∑ m=−N π −π dn dm ei(n−m)x dx |dn |2 . n=−N 1 ) dm e −imx dx 問 5.2 ∫ N ∑ π −π f (x)FN (x)dx = 2π cn dn n=−N を示せ． [解] ∫ ∫ π −π f (x)FN (x)dx = ( π f (x) −π N ∑ = ∫ dn N ∑ dn e −inx dx n=−N π f (x)e−inx dx −π n=−N = 2π ) N ∑ cn dn . n=−N 問 5.3 EN は dn = cn (−N ≤ n ≤ N ) のときに限り最小値 ∗ EN = ∫ π −π |f (x)|2 dx − 2π N ∑ |cn |2 n=−N を取ることを示し，これからベッセルの不等式 ∞ ∑ |cn |2 ≤ n=−∞ 1 2π ∫ π −π |f (x)|2 dx を示せ． ∫ EN = π ∫−π π = −π ∫ π = −π ∫ π |f (x) − FN (x)|2 dx ( ) |f (x)|2 − 2Re f (x)FN (x) + |FN (x)|2 dx N ∑ ( |f (x)|2 dx + 2π −π ) n=−N N ∑ |f (x)| dx + 2π 2 = −2Re cn dn + |dn |2 |cn − dn | − 2π 2 n=−N N ∑ |cn |2 . n=−N ∗ を取る．また E ≥ 0 これより，EN は dn = cn (−N ≤ n ≤ N ) のときに限り最小値 EN N ∗ から EN ≥ 0 も成立し，従って N ∑ |cn |2 ≤ n=−N 1 2π ∫ π −π |f (x)|2 dx となる．上の不等式は全ての N ∈ N について成立するから，N → ∞ として， ∞ ∑ 1 |cn | ≤ 2π n=−∞ ∫ π 2 2 −π |f (x)|2 dx.