2016年度実解析第一・第二配布問題 (第8回)

2016 年度実解析第一・第二配布問題 (第 8 回)
95 fn , f を X 上の可測関数 (n ∈ N) で，fn は f に概収束しており，また，ある可積分関数
g によ
∫
り |fn | ≤ g が各 n ∈ N で成り立っているとする． lim
|fn − f | dµ = 0 を示せ．
n→∞
X
96 (X, F, µ) = (R, B(R), m1 )∫とする．X∫上の µ-可積分関数達
∫ fn , f (n ∈ N) で，fn は n → ∞ で f
に概収束しており， lim
n→∞
|fn − f | dµ が n → ∞ で 0 に収束しな
f dµ であるが
fn dµ =
X
X
X
い例を挙げよ．
97 (X, F, µ) = (R, B(R), m∫1 ) とする．fn , f を X ∫上の µ-可積分関数達 (n ∈ N) で，fn は n → ∞ で
fn dµ が n → ∞ で
f に概収束しているが
∫
98
0
1
(
log x
1−x
)2
dx =
f dµ に収束しないものの例を挙げよ．
X
X
π2
を示せ
3
99 X = (0, 1], F = B((0, 1]) とし，µ を 1 次元 Lebesgue 測度 m1 の X への制限とする．(a, b] の
形の 2n 個の区間の互いに素な和集合として与えられる集合 In を，以下のように帰納的に定義
する：
• I0 := (0, 1],
(
])
2n
2n (
∪
∪
2aj + bj aj + 2bj
• In =
(aj , bj ], bj < aj+1 のとき，In+1 :=
(aj , bj ] \
,
.
3
3
j=1
j=1
さらに，I∞ :=
∞
∩
In とおく．
n=1
(a) m1 (I∞ ) = 0 を示せ．
(b) x ∈ (0, 1] に対し，{an }∞
「x ∈ I∞ 」と「各 n ∈ N で an ̸= 1」
n=1 を x の 3 進展開の係数とする．
は同値になる事を示せ．
(c) I∞ は非可算集合になる事を示せ．
{ d
}
∏
((ai , bi ] ∩ R) − ∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞ とおく (ただし，(a, a] = ∅ とする)．Ĩd は Rd
100 Ĩd :=
i=1
上の半加法族になることを示せ．
n
n+1
101 φ : N ∪ {0} → (0, ∞) を単調増加，かつ，各 n ∈ N で 1 ≤
≤
とする (例えば
φ(n)
φ(n + 1)
√
φ(n) = n (n ∈ N), φ(0) = 1/2)．X を可算集合とし，A ⊂ X に対して µ(A) を以下で定める：

 #A
A が有限集合のとき，
µ(A) := φ(#A)

∞
A が無限集合のとき
(1) µ が X 上の外測度になることを示せ (注：無限集合が登場する場合も忘れずに)．
(2) µ が (X, 2X ) 上の測度になることと，φ が定数関数になること (すなわち，任意の n, m ∈ N
で φ(n) = φ(m) なること) は同値になることを示せ．
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