13.5 無向の閉弦

13.5 無向の閉弦
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13.5 無向の閉弦
この問題は，問題 12.12 の閉弦版にあたる．σ ∈ [0, 2π] の閉弦 X µ (τ, σ) において τ を指定すると，時空におけるパ
ラメーター付けされた閉曲線が与えられる．弦の向きとは，この曲線において σ が増加する向きを意味する．
(a) 上述と同じ τ の下で，閉弦 X µ (τ, 2π − σ) を考える．この第 2 の弦は，元の第 1 の弦とどのように関係づけら
れるか？それぞれの向きはどうなるか？荒くスケッチを描き，元の弦を実線で，第 2 の弦を破線で示せ．
σ=0
σ ′ = 2π − σ
=0
図 13.1 互いに逆向きの閉弦
ここで，弦座標演算子に対して次のような変換作用を持つ反転演算子 Ω を導入する．
ΩX I (τ, σ)Ω−1 = X I (τ, 2π − σ)
(1)
そして更に，次のように宣言する．
−1
Ωx−
= x−
0Ω
0,
Ωp+ Ω−1 = p+
(2)
(b) 閉弦の振動子展開 (13.24) を用いて，以下を計算せよ．
ΩxI0 Ω−1 ,
Ωα0I Ω−1 ,
ΩαnI Ω−1 ,
ΩαIn Ω−1 ,
(c) ΩX − (τ, σ)Ω−1 = X − (τ, 2π − σ) を示せ．ΩX + (τ, σ)Ω−1 = X + (τ, 2π − σ) なので，式 (1) は実際には，すべ
ての弦座標に関して成立する．閉弦のハミルトニアン H は，向きの反転の下で不変すなわち ΩHΩ−1 = H な
ので，向きの反転は閉弦理論が持つ対称変換である．これが本当であることを説明せよ．
(d) 基底状態が反転不変であると仮定せよ．N ⊥ ≤ 2 の閉弦状態のリストを書き，それらの反転固有値を与えよ．も
しあなたが “無向の” 閉弦の理論を構築する使命を受けたとすると，どの状態を棄てる必要があるか？無向の
閉弦理論における質量のない場は何か？

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