課題 2 ∏ I. f (x) = ni=1 (x − ci ) を相異なる c1 , . . . , cn ∈ C を根とする n 次多項式， g(x) はたかだか n − 1 の多項式とする． g(ci ) g(x) ∑ F (x) = − ′ f (x) i=1 f (ci )(x − ci ) n とおく． (i) F (x) は全平面 C で正則であることを示せ． (ii) x → ∞ のとき F (x) → 0 であることに注意して Liouville の定理を適用し，F (x) ≡ 0，すなわち g(x) ∑ g(ci ) = ′ f (x) f (ci )(x − ci ) i=1 n (Lagrange の補間公式) を示せ． ) ∞ ( ∏ 1 II. (i) 1 − 2 が収束することを示し，その値を求めよ． n n=2 ∞ ∏ n (1 + z 2 ) は |z| < 1 において広義一様に収束することを示し，さらに n=1 |z| < 1 において 1 に等しいことを示せ． 1 − z2 III. 4 頂点 A = −R − i, B = R − i, C = R + i, −R + i をまわる四辺 ABCD を考える．ただし R = N + 12 （N > 0 は整数）とする．関数 2 e−πaz (a > 0) の線積分を考える． e2πiz − 1 (i) 留数定理を用いて ∫ 2 N ∑ e−πaz 2 e−πan dz = 2πiz −1 ABCD e n=−N を示せ． (ii) e2πiz1 −1 = e−2πiz (1 + e−2πiz + e−4πiz + · · · ) = −(1 + e2πiz + e4πiz + · · · ) を用いて，さらに N → ∞ とするときに ∫ ∫ −∞ ∞ 1 ∑ − πn2 1 ∑ − πn2 a √ √ および = e = e a a n=−1 a n=0 AB CD 1 πn2 を示せ（e−πaz e2nπiz = e−πa(z− a i) e− a ，さらに ∫ ∞ ∫ ∞ 2 −πa(x+iy)2 e dx = e−πax dx (x, y ∈ R) n 2 −∞ 2 −∞ に注意するとよい）． (iii) (i) と (ii) の結果をあわせて ∞ ∑ n=−∞ −πan2 e ∞ 1 ∑ − πn2 =√ e a a n=−∞ を示せ． 2