解析学 C 演習問題 3 問 1. N 次 Dirichlet 核 DN とは DN (y) = 1 2π

解析学 C 演習問題 3
問 1. N 次 Dirichlet 核 DN とは
DN (y) =
N
1 ∑
einy
2π −N
によって定まる関数である．
(i)
1 ei(N +1)y − e−iN y
1 sin (N + 12 )y
=
.
2π
eiy − 1
2π
sin 12 y
DN (y) =
を示せ．
(ii) 任意の N に対して
∫
∫
0
−π
DN (y) dy =
0
π
DN (y) dy =
1
2
を示せ．
問 2. f を R 上の区分的に滑らかな 2π 周期関数とする．f の Fourier 級数
f
(x) を
の第 N 部分和 SN
N
∑
f
(x) =
SN
cn einx
n=−N
とする．
(i)
f
(x)
SN
∫
=
π
−π
f (x + y)DN (y) dy
を示せ．
(ii)
f
SN
(x)
)
(
1
1 ∫π
− [f (x−) + f (x+)] =
g(y) ei(N +1)y − e−iN y dy.
2
2π −π
を示せ．ただし，
g(y) =

f (x + y) − f (x−)




eiy − 1


f (x + y) − f (x+)


eiy − 1
(−π < y < 0)
(0 < y < π).
(iii) g(y) は区分的に連続な関数であることを示せ．
（ロピタルの定理を用
いよ．
）
(iv)
f
lim SN
(x) =
N →∞
1
[f (x−) + f (x+)]
2
を示せ．
問 3. 次の (1-a,b) で定まる 2π 周期関数 f のフーリエ級数を求め，それを
利用して (2-a,b) の等式を示せ．
(1-a) f (x) = | sin x|
(1-b) f (x) = x2 (−π ≤ x < π)
(2-a)
∞
∑
1
1
= ,
2
2
n=1 4n − 1
(2-b)
∞
∑
1
n=1
n2
=
π2
,
6
∞
∑
(−1)n+1
n=1
4n2
−1
∞
∑
(−1)n+1
n=1
n2
=
π−2
,
4
=
π2
.
12
問 3 (1-a,b) の解
(1-a)
f (x) ∼
(1-b)
f (x) ∼
∞
2
4∑
cos 2nx
−
π π n=1 4n2 − 1
∞
∑
(−1)n
π2
+4
cos nx
3
n2
n=1

Download Report