ペル方程式とその利用 整数 𝑥𝑦 に対し、𝑥 2 − 𝐷𝑦 2 = 1 （𝐷は正の整数）の形の方程式をペル方程式と いい、種々の応用例がある。 2 （1）𝐴 = ( 1 3 ) 2 ベクトル ( とする。 𝑥 𝑥1 𝑥 ) に対し、 ( ) = 𝐴−1 ( ) 𝑦 𝑦1 𝑦 とおく。 𝑥 2 − 3𝑦 2 = 1 ならば、𝑥1 2 − 3𝑦1 2 = 1、𝑥1 >0， 𝑦 > 𝑦1 ≧ 0 を示せ。 （2）𝑥 2 − 3𝑦 2 = 1 をみたす自然数（𝑥, 𝑦）の集合を 𝑃 とし、 ( 𝑥𝑛 1 ) = 𝐴𝑛 ( ) （𝑛 は自然数）で表される自然数（𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ）の集合を Q 𝑦𝑛 0 とする。𝑃 = 𝑄 を示せ。 3 辺の長さが連続する 3 つの整数で、その面積も整数であるような三角形（整数 三角形と呼ぶ）は、例えば以下の三角形が挙げられる。 15 5 面積 6 4 3 13 53 51 面積 84 面積 1170 14 52 （3）整数三角形の内接円の半径も整数であることを示せ。 （4）整数三角形の 3 辺のうち中間の長さの辺として適するもの （上の例では 4,14,52）を、自然数 𝑛 を用いてすべて求めよ。
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