n ¡ 1 - SUUGAKU.JP

1
n を自然数とするとき，等式
1 ¢ (2n ¡ 1) + 2 ¢ (2n ¡ 3) + 3 ¢ (2n ¡ 5) + Ý + (n ¡ 1) ¢ 3 + n ¢ 1 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
（愛知教育大学 2015 ）
2
すべての自然数 n について，3n ¡ 2n + 3 は 4 の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．
（愛知教育大学 2016 ）
3
数列 fan g は，a1 = 2，an+1 = 2an 2 ¡ 3an + 5 (n = 1; 2; 3; Ý) を満たすとする．このとき，どのよう
な自然数 n に対しても，an ¡ 2 は 5 で割り切れることを，数学的帰納法を使って証明せよ．
（倉敷芸術科学大学 2013 ）
4
n を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
13 + 2 3 + 3 3 + Ý + n 3 =
n 2 (n + 1)2
4
（会津大学 2013 ）
5
n を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 次の等式を示せ．
n+2 C3
+ n+2 C2 = n+3 C3
(2) (1) の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．
n
P
i=1
i+1 C2
= n+2 C3
（会津大学 2015 ）
6
数列 fan g は，
a1 = 2;
an+1 =
2an + 2
an + 2
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
p
(1) n が自然数のとき，数学的帰納法を用いて 2 < an を示せ．
(2) n が自然数のとき，an+1 < an を示せ．
(3) n が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
p
(2 ¡ 2)n
an ¡ 2 5
3n¡1
B
を示せ．
（香川大学 2015 ）

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