2015年度専攻科線形代数学前期試験予告問題担当:松澤寛

2015 年度専攻科線形代数学
前期試験予告問題担当:松澤寛
 
 
 
2
4
0
2
3
1
1
1
 
 
 
 
1 a1 =  , a2 =  , a3 =  , a4 =   とする. このとき ⟨a1 , a2 , a3 , a4 ⟩ の基底と次元を
3
0
1
1
2
1
−1
1
 
x1
x 
 2
求めよ. また, x =   が ⟨a1 , a2 , a3 , a4 ⟩ に属するための条件を求めよ.
x3 
x4
 
 
 
 
−1
0
−1
1
−9
1
1
2
 
 
 
 
2 a1 =  , a2 =  , b1 =  , b2 =   とする. R4 の部分空間 W1 = ⟨a1 , a2 ⟩,
−1
−5
3
0
−2
−4
−3
4
W2 = ⟨b1 , b2 ⟩ に対し W1 ∩ W2 の次元と基底を求めよ.
(Hint: W1 ∩ W2 ということは x1 a1 + x2 a2 ともかけるし, y1 b1 + y2 b2 ともかけるということであ
る. ということは x1 a1 + x2 a2 = y1 b1 + y2 b2 つまり x1 a1 + x2 a2 + (−y1 )b1 + (−y2 )b2 = 0 となる x1 ,
x2 , y1 , y2 が存在するということである. A = [a1 a2 b1 b2 ], x = t [x1 , x2 , −y1 , −y2 ] とすると Ax = 0
となる. これから x1 , x2 , y1 , y2 の関係式を得る.)


 
 
 
3
−1
2
 
 
 
3 a1 = 0, a2 =  0 , a3 =  9  とするとき, グラム · シュミットの直交化法を用いて R3 の正
4
7
11
規直交基底を 1 組つくれ.
4 V を実係数 2 次以下の多項式 p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 の全体がつくるベクトル空間とする. V の
元 p, q において, 内積 (p, q) を
∫
1
p(x)q(x)dx
(p, q) =
−1
と定義するとき, V の基底 A : x + 1, 2x, x2 − 1 から正規直交基底をつくれ.
5 R4 の部分空間

 
x1





 
x
2

W =   : x1 + 3x2 = 0, 3x1 + 11x2 − 8x3 − 29x4 = 0
x





 3
x4
について以下の問に答えよ.
(1) W の次元と正規直交基底を求めよ.
(2) W の直交捕空間 W ⊥ の次元と正規直交基底を求めよ.


1 1 1 3


6 A = 1 −1 0 1 とするとき, fA (x) = Ax で定義される R4 から R3 への線形写像に対し,
0 1 k 1
ImfA , KerfA の基底と次元を求めよ.
1
7 ベクトル空間 V の基底を A : a1 , a2 , a3 , a4 , ベクトル空間 W の基底を B : b1 , b2 , b3 とする. V
から W への線形写像 f が次の条件を満たすとき, これらの基底に関する f の表現行列 A を求めよ.
また, f の像 Imf と核 kerf の次元をそれぞれ求めよ:
f (a1 ) = −b1 + 2b2 ,
f (a2 ) = b2 − b3 ,
f (a1 + a2 + a3 ) = f (0V ),
f (a3 + 2a4 ) = −b1 − b2 + 3b3

3 1 −3


8 行列 A = −1 1 1  の固有値と固有ベクトルを求めよ. また, この行列は対角化可能か調べよ.
1 1 −1

2

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