1 Bx2 + 1 - SUUGAKU.JP

1
m を自然数とする．2m ! が 2n で割り切れる自然数 n の最大値を N(m) とお
くとき，次の問いに答えよ．
(1) N(5) を求めよ．
(2) N(m) を m の式で表せ．
(3) N(m) が素数ならば，m も素数であることを証明せよ．
2
次の問いに答えよ．
1
(1) 関数 y = B
の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概
2
x +1
形をかけ．
B
(2) 関数 y = log(x + x2 + 1) ¡ ax が極値をもつように，定数 a の値の範
囲を定めよ．
(3) 極値 lim % B
n!1
3
12
1
1
1
= を求めよ．
+ B
+Ý+ B
2
2
2
2
+n
2 +n
n + n2
数列 fan g を初項 3，公比 3 の等比数列とし，数列 fbn g を初項 11，公差 8 の
等差数列とする．fan g と fbn g に共通に含まれる項を小さいものから順に並
べて得られる数列 fcn g の一般項を求めよ．
4
¡
! ¡
!
自然数 n に対して，ベクトル a ; b を
1
¡
!
a = #n 4 ; n
1
4
+ 1; ;
1
1
¡
!
b = #n 4 ; 1 ¡ n 4 ;
で定めるとき，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) a と b のなす角を µ とするとき，cos µ を n を用いて表せ．
1
(2)
が整数となるような n を小さい順に n1 ; n2 ; Ý とするとき，i 番目
cos µ
の ni を i を用いて表せ．
¡
! ¡
!
(3) n = ni に対する a と b のなす角を µi とおく．自然数 k に対して，
Sk =
1
1
1
+
+Ý+
2
2
tan µ1
tan µ2
tan2 µk
とするとき， lim Sk を求めよ．
k!1
5
7
次の問いに答えよ．
す．この k に対して，2 つの放物線
(1) すべての実数 x に対して次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ．
B Z
f(x) = sin x + 2 2
2
0
¼
4
C1 : y = x2 + kx;
f(t) cos t dt
Z
x
0
C2 : y = ¡x2 + k2 +
9
9
k+
4
8
で囲まれた図形の面積を Sk とするとき，次の問いに答えよ．
(2) すべての実数 x に対して次の等式を満たす関数 g(x) を求めよ．
1
sin 2x +
g(x) = x ¡
2
公正に作られた n 枚のコインを同時に投げるとき，表が出た枚数を k で表
(1) Sk を求めよ．
0
g (t) cos t dt
(2) Sk 5 9 となる確率を n を用いて表せ．
1
ただし，g(x) は微分可能で，その導関数 g 0 (x) は連続であるとする．
3
8
(3) n = 5 のとき，# Sk ; の期待値を求めよ．
9
8
6
次の問いに答えよ．
x3
¡ x< を求めよ．
x!1
¡1
x3
の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形
(2) 関数 y = 2
x ¡1
をかけ．
(1) lim $
x2
(3) k を定数とするとき，方程式 x3 ¡ kx2 + k = 0 の異なる実数解の個数を調
べよ．
空間に 4 点 O(0; 0; 0)，A(0; 0; 1)，B(2; 0; 0)，C(0; 2; 0) がある．点
O から 4ABC に垂線を下ろしたときの交点を H とする．このとき，次の問
いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
(1) a; b を実数とする． v = (a; b; 1) としたとき， v がベクトル AB，AC
の両方に直交するような a; b の値を求めよ．
¡!
(2) ベクトル OH の成分表示を求めよ．
(3) 四面体 OABC の体積 V および 4ABC の面積 S を求めよ．
(4) 四面体 OABC に内接する球の半径 r を求めよ．
9
a > 0 とするとき，関数 f(x) = a sin 2x ¡ cos2 x について，次の問いに
答えよ．
11 次の問いに答えよ．
2x
2x
(0 < x < 1) の最小値を求めて lim
= 1 を示せ．
2
x!1 x
x
(2) 直線 y = ax が曲線 y = 2x の接線であるとき，a の値と，接点の座標を求
(1) 関数
¼
; にただ 1 つの解 t をもつことを示せ．ま
2
た，この解 t と a との関係式を求めよ．
Z ¼
2
jf(x)j dx を (1) で定めた t を用いて表せ．
(2) 積分 I =
(1) 方程式 f(x) = 0 は区間 #0;
0
(3) t の関数として表された積分 I の最小値とそのときの a の値を求めよ．
めよ．
(3) (2) のとき，曲線 y = 2x と接線 y = ax および y 軸で囲まれた図形を y 軸
のまわりに回転させてできる回転体の体積 V を求めよ．
10 U = fk j k は自然数，1 5 k 5 25g を全体集合とし，U の部分集合 A; B を
次のように定める．
A = fk j k 2 U かつ k は 3 の倍数 g;
B = fk j k 2 U かつ k は 4 の倍数 g
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 2 つの集合 A \ B; A [ B を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2) m と n を自然数とし，2 次方程式
(¤)
x2 ¡ mx + n = 0
が整数解をもつとする．このとき，n が素数ならば，2 次方程式 (¤) は 1 を
解としてもつことを証明せよ．
(3) m; n を集合 A \ B の要素とする．このとき，2 次方程式 (¤) の解がすべ
て 2 以上の整数となる m と n の組 (m; n) をすべて求めよ．ただし，A と
B は，それぞれ A と B の補集合を表す．
12 一般項が an = bn 2 + crn (n = 1; 2; 3; Ý) で与えられる数列 fan g につい
て，次の問いに答えよ．ただし b; c; r は実数とする．
(1) fan g が a1 = ¡1; a2 = ¡16; a3 = ¡39; a4 = ¡64 をみたしていると
き，b; c; r の値を求めよ．
(2) b = ¡5; c = 2; r = 3 のとき，an の値が最小となる自然数 n の値と，そ
のときの an の値を求めよ．
13 次の問いに答えよ．
x+y
を
2
証明せよ．また，等号が成り立つのは x = y のときだけであることを示せ．
(1) 0 < x < ¼; 0 < y < ¼ のとき，不等式 sin x + sin y 5 2 sin
(2) 八角形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 は原点 O を中心とする半径 1 の円に内接して
いて，円の中心 O はこの八角形の内部にあるとする．弧 Ai Ai+1 の長さを
®i (i = 1; 2; Ý; 7) とし，弧 A8 A1 の長さを ®8 とするとき，この八角形
の面積 S を ®1 ; ®2 ; Ý; ®8 を用いて表せ．
p
(3) (2) の八角形の面積 S について，不等式 S 5 2 2 を証明せよ．また，等号
が成り立つのはこの八角形が正八角形のときだけであることを示せ．

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