微分積分学 II 中間試験問題(2014 年12月

微分積分学 II 中間試験問題 (２０１４年１２月)
氏名
学籍番号
1.
次の極限が存在するか調べ, 存在する場合には極限値を求めよ.（各４点）
x2 − y 2
√
(1)
lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
(2)
lim
(x,y)→(0,0)
(3)
lim
(x,y)→(0,0)
2.
x4 + y 2
x2 + y 2
e2x+2y − 1
x+y
次の関数 f (x, y) の点 (0, 0) における連続性を調べよ.（４点）

2

 xy
(x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2

 1
(x, y) = (0, 0)
3.
4.
5.
次の関数 f (x, y) の x に関する偏導関数を求めよ.（ (1) (2) 各３点, (3) ５点）
(1)
f (x, y) = x3 + x2 y + xy + sin y
(2)
f (x, y) =
(3)
f (x, y) = log (1 + x2 y)
関数 f (x, y) =
y − 2x
3x + y
√
5x + 2y について, 次の問いに答えよ.（各４点）
(1)
f (x, y) の点 (1, 2) における y に関する偏微分係数を求めよ.
(2)
曲面 z = f (x, y) の点 (1, 2, f (1, 2)) における平面 x = 1 上の接線を求めよ.
関数 f (x, y) の偏導関数が fx (x, y) =
y
x
, fy (x, y) =
であるとき, 次の問い
1 + xy
1 + xy
に答えよ.（各５点）
(1) x(t) = t2 , y(t) = e−t とするとき, z(t) = f (x(t), y(t)) の導関数 z 0 (t) を求めよ.
(2)
t
とするとき, z(s, t) = f (x(s, t), y(s, t)) の s に関する偏
s
導関数 zs (s, t) を求めよ.
x(s, t) = s2 t, y(s, t) =
6.
関数 f (x, y) = ex cos y の全微分 df を求めよ.（５点）
7.
関数 f (x, y) = e−y sin(2x + y) について, 次の問いに答えよ.
(1) f (x, y) の 2 次偏導関数を全て求めよ. （１０点）
8.
(2)
fxxxy (x, y) を求めよ. （３点）
(3)
関数 f (x, y) をマクローリン展開したときの x3 y の係数を求めよ.（４点）
次の関数 f (x, y) のマクローリン展開を指定の項まで求めよ. ただし, 剰余項は求めな
くてよい.（各６点）
(1) f (x, y) = log(1 + x + y 2 ) (2 次まで)
(2)
f (x, y) = x cos(2x − y)
(3 次まで)
9.
10.
曲面 z = f (x, y) = (x + y)ex−y の点 (2, 1, f (2, 1)) における接平面を求めよ.（５点）
曲線 f (x, y) = x3 − 2y 3 − 3x2 − 3y 2 + 1 = 0 について, 次の問いに答えよ.
(
)
1
(1) 点 3 ,
および点 (3, −1) における曲線の接線を陰関数定理を用いて求めよ.
2
（１２点）
(2)
曲線の特異点を求めよ. （４点）

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