1 曲線 C : y = x (3) (2)

1
曲線 C : y = x2 と直線 x = a の交点を P とする．点 P における C の接線を ` とするとき，次
5
の問いに答えよ．ただし，a は定数とする．
n を 2 以上の自然数とし，各 k = 1; 2; Ý; n について，k という数字が書かれたカードを k 枚
用意する．それらのカードをまとめ，よくきる．次の問いに答えよ．
(1) ` の方程式を求めよ．
(1) カードを 1 枚ひくとき，それが n と書かれたカードである確率を求めよ．
(2) 直線 ` に関し，点 Q(a; ¡1) と対称な点を R とする．点 P と点 R を通る直線の方程式を求めよ．
(2) カードを 1 枚ひくときの，カードに書かれた数字の期待値を求めよ．
(3) (2) で求めた直線は a の値にかかわらず定点を通る．定点の座標を求めよ．
(3) カードを 2 枚同時にひくとき，2 枚のカードに書かれた数字が一致する確率を求めよ．
2
関数 f(x) が等式
1
f(x) = x +
2
2
Z
6
1
0
xf(t) dt + k
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，k は定数とする．
Z1
(1) 定積分
f(t) dt を求めよ．
0
Zx
(2) 関数 g(x) =
f(t) dt を求めよ．
数列 a1 ; a2 ; Ý と b1 ; b2 ; Ý を，次のように定める．
‘ a1 < 0; b1 > 0 とする．
’ k = 2 のとき，ak と bk を
ak¡1 + bk¡1
= 0 ならば ak = ak¡1 ;
2
0
(3) 関数 h(x) = g(x) +
bk =
ak¡1 + bk¡1
2
ak¡1 + bk¡1
ak¡1 + bk¡1
< 0 ならば ak =
; bk = bk¡1
2
2
1
x が常に単調に増加するように，定数 k の値の範囲を定めよ．
3
とする．次の問いに答えよ．
3
曲線 C1 : y = sin x と曲線 C2 : y = sin 2x を 0 5 x 5 ¼ の区間で考える．次の問いに答えよ．
(1) C1 と C2 の交点の x 座標を求めよ．
(2) C1 と C2 で囲まれた部分 A の面積 S を求めよ．
(3) (2) で定めた図形 A を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ．
4
A=
1 3 ¡2
'
? とする．次の問いに答えよ．
4 2 3
(1) A = k '
cos µ ¡ sin µ
sin µ
k > 0 とする．
cos µ
? が成り立つとき，cos µ; sin µ および k の値を求めよ．ただし，
(2) 点 P を円 x2 + y2 = 1 上の点とする．行列 A で表される座標平面上の点の移動によって，点 P
が点 Q に，点 Q が点 R に移るとする．4PQR の面積 S を求めよ．
(1)
n
P
(bk ¡ ak ) を a1 ; b1 で表せ．
k=1
(2) b1 > b2 > Ý > bn (n = 2) であるとき，bk (k = 2; Ý; n) を a1 ; b1 で表せ．
(3) n (n = 2) を b1 > b2 > Ý > bn を満たす最大の整数とするとき，n の満たす条件を a1 ; b1 で
表せ．
7
4OAB において，辺 AB の中点を M，辺 OA を 2 : 1 に内分する点を D，辺 OB を 3 : 1 に内分
¡! ¡
! ¡! ¡
!
する点を E とする．OA = a ; OB = b とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡! ¡
! ¡
!
(1) MD，ME を a ; b で表せ．
(2) MD ? OA，ME ? OB のとき，OA : OB : AB を求めよ．
8
関数 y = x2 ¡ 3x のグラフと直線 ` : y = kx とで囲まれた部分の面積を S とする．次の問い
に答えよ．ただし，k は定数で 0 < k < 3 とする．
(1) y = x2 ¡ 3x のグラフと直線 ` との共有点の x 座標を求めよ．
(2) y = x2 ¡ 3x のグラフと直線 ` とで囲まれた部分について，` より上方にある部分の面積を
求めよ．
(3) y = x2 ¡ 3x のグラフと直線 ` とで囲まれた部分について，` より下方にある部分の面積を
求めよ．
13
(4) S =
となる k の値を求めよ．
3
9
y2
x2
+
2¡t
1¡t
t Ë 1; t Ë 2 とする．
方程式
= 1 で表される 2 次曲線について，次の問いに答えよ．ただし，
y2
x2
+
= 1 が点 (1; 1) を通るとき，t の値を定めよ．また，そのときの焦
2¡t
1¡t
点の座標を求めよ．
y2
x2
(2) 定点 (a; a) (a Ë 0) を通る 2 次曲線
+
= 1 は 2 つあり，1 つは楕円，もう 1 つ
2¡t
1¡t
は双曲線であることを示せ．また，それらは同一の焦点をもつことを示せ．
(1) 2 次曲線
10 座標平面上を運動する点 P(x; y) があり，x; y が時刻 t (t = 0) の関数として
2
x = e¡t cos t2 ;
2
y = e¡t sin t2
で与えられている．次の問いに答えよ．
H
2
2
dy
dx
< +$
< を求めよ．
dt
dt
(2) v(t) の最大値と，最大値を与える時刻 T を求めよ．
ZT
v(t) dt を求めよ．ただし，T は (2) で求めた値とする．
(3) 定積分
(1) 点 P の速さ v(t) =
0
$

Download Report